Theorem dya2iocuni 30345

Description: Every open set of ( RR X. RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of ( RR X. RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 30342. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	|- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, c, v, A   R, c

Allowed substitution hints:   A( x, n)   R( x, v, u, n)   I( n, c)   J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables m p b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 30341	. . . . . . 7 |- R Fn ( ran I X. ran I )
6		zex 11386	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
7	6, 6	mpt2ex 7247	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
8	3, 7	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- I e. _V
9	8	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran I e. _V
10	9, 9	xpex 6962	. . . . . . 7 |- ( ran I X. ran I ) e. _V
11		fnex 6481	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn ( ran I X. ran I ) /\ ( ran I X. ran I ) e. _V ) -> R e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 708	. . . . . 6 |- R e. _V
13	12	rnex 7100	. . . . 5 |- ran R e. _V
14	13	elpw2 4828	. . . 4 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R <-> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R )
15	1, 14	mpbir 221	. . 3 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R
16	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R )
17		rex0 3938	. . . . . . . . . . 11 |- -. E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A )
18		rexeq 3139	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A ) ) )
19	17, 18	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
20	19	ralrimivw 2967	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
21		rabeq0 3957	. . . . . . . . 9 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) <-> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
22	20, 21	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
23	22	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = U. (/) )
24		uni0 4465	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
26		0ss 3972	. . . . . 6 |- (/) C_ A
27	25, 26	syl6eqss 3655	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
28		elequ2 2004	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( z e. b <-> z e. p ) )
29		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( b C_ A <-> p C_ A ) )
30	28, 29	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( b = p -> ( ( z e. b /\ b C_ A ) <-> ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
31	30	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( b = p -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
32	31	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A )
34	33	reximi 3011	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> E. z e. A p C_ A )
35		r19.9rzv 4065	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( p C_ A <-> E. z e. A p C_ A ) )
36	34, 35	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A ) )
37	36	adantld 483	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) -> p C_ A ) )
38	32, 37	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> p C_ A ) )
39	38	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
40		unissb 4469	. . . . . 6 |- ( U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A <-> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
41	39, 40	sylibr 224	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
42	27, 41	pm2.61ine 2877	. . . 4 |- U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
44	2, 3, 4	dya2iocnei 30344	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) )
45		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. ran R )
46		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p C_ A /\ m e. p ) -> m e. A )
47	46	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. p /\ p C_ A ) -> m e. A )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. A )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( m e. p /\ p C_ A ) )
50		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z e. p <-> m e. p ) )
51	50	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( z e. p /\ p C_ A ) <-> ( m e. p /\ p C_ A ) ) )
52	51	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. A /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
53	48, 49, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
54	45, 53	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
55	54, 32	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
56		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. p )
57	55, 56	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } /\ m e. p ) )
58	57	reximi2 3010	. . . . . . 7 |- ( E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
59	44, 58	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
60		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
61	59, 60	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
62	61	ex 450	. . . 4 |- ( A e. ( J tX J ) -> ( m e. A -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } ) )
63	62	ssrdv 3609	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> A C_ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
64	43, 63	eqssd 3620	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A )
65		unieq 4444	. . . 4 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> U. c = U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
66	65	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> ( U. c = A <-> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) )
67	66	rspcev 3309	. 2 |- ( ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R /\ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )
68	16, 64, 67	syl2anc 693	1 |- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   topGenctg 16098   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  30346  sxbrsigalem1  30347