Theorem etransclem22 40473

Description: The N-th derivative of H is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem22.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem22.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem22.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem22.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
etransclem22.J	|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem22.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
etransclem22	|- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   j, J, x   j, M, x   x, N   P, j, x   x, S   j, X, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   S( j)   H( x, j)   N( j)

Proof of Theorem etransclem22

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem22.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		etransclem22.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
3		etransclem22.p	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		etransclem22.h	. . 3 |- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
5		etransclem22.J	. . 3 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
6		etransclem22.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	etransclem17 40468	. 2 |- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) = ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) )
8		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N )
9	8	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) = 0 )
10	9	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( ( ph /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
11	1, 2	dvdmsscn 40151	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ CC )
12		0cnd 10033	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. CC )
13		ssid 3624	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> CC C_ CC )
15	11, 12, 14	constcncfg 40084	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( X -cn-> CC ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( X -cn-> CC ) )
17	10, 16	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
18		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N )
19	18	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) = ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) )
20	19	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) )
21		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N )
22	11, 14	idcncfg 40085	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( X -cn-> CC ) )
23	5	elfzelzd 39530	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. ZZ )
24	23	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. CC )
25	11, 24, 14	constcncfg 40084	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> J ) e. ( X -cn-> CC ) )
26	22, 25	subcncf 40082	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( x - J ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> ( x - J ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
28	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> CC C_ CC )
29		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
31	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN0 )
32	30, 31	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
33	32	faccld 13071	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. NN )
34	33	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
36	32	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
37	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
38	36, 37	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ )
40	6	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> N e. RR )
42	32	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
44	41, 43, 18	nltled 10187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> N <_ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
45	43, 41	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) <-> N <_ if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
46	44, 45	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) )
47		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 <-> ( ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) )
48	39, 46, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 )
49	48	faccld 13071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) e. NN )
50	49	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) e. CC )
51	49	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) =/= 0 )
52	35, 50, 51	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. CC )
53	28, 52, 28	constcncfg 40084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( y e. CC |-> ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
54		expcncf 22725	. . . . . . 7 |- ( ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) e. NN0 -> ( y e. CC |-> ( y ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
55	48, 54	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
56	53, 55	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( y e. CC |-> ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( y ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
57		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = ( x - J ) -> ( y ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) = ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( y = ( x - J ) -> ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( y ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) = ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) )
59	21, 27, 56, 28, 58	cncfcompt2 40112	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
60	20, 59	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ -. if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N ) -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
61	17, 60	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> if ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) < N , 0 , ( ( ( ! ` if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) x. ( ( x - J ) ^ ( if ( J = 0 , ( P - 1 ) , P ) - N ) ) ) ) ) e. ( X -cn-> CC ) )
62	7, 61	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( ( S Dn ( H ` J ) ) ` N ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem34  40485