Theorem itgulm2 24163

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm2.c	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) )
itgulm2.l	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( x e. S |-> A ) e. L^1 )
itgulm2.u	|- ( ph -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ( ~~> u ` S ) ( x e. S |-> B ) )
itgulm2.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	|- ( ph -> ( ( x e. S |-> B ) e. L^1 /\ ( k e. Z |-> S. S A _d x ) ~~> S. S B _d x ) )

Distinct variable groups:   x, k, ph   S, k, x   k, Z, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x, k)   M( x, k)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm2.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		itgulm2.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( x e. S |-> A ) e. L^1 )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) = ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) )
5	3, 4	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) : Z --> L^1 )
6		itgulm2.u	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ( ~~> u ` S ) ( x e. S |-> B ) )
7		itgulm2.s	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
8	1, 2, 5, 6, 7	iblulm 24161	. 2 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) e. L^1 )
9	1, 2, 5, 6, 7	itgulm 24162	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z ) ~~> S. S ( ( x e. S |-> B ) ` z ) _d z )
10		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k S
11		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n )
12		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k z
13	11, 12	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ k ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z )
14	10, 13	nfitg 23541	. . . . 5 |- F/_ k S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z
15		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ n S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x
16		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) = ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x ) )
17		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x Z
18		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. S |-> A )
19	17, 18	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) )
20		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x n
21	19, 20	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n )
22		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
23	21, 22	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z )
24		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ z ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x )
25	16, 23, 24	cbvitg 23542	. . . . . 6 |- S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z = S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x ) _d x
26		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) = ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) )
27	26	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x ) = ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( n = k /\ x e. S ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x ) = ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) )
29	28	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 |- ( n = k -> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` x ) _d x = S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x )
30	25, 29	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( n = k -> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z = S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x )
31	14, 15, 30	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( n e. Z |-> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x )
32		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> k e. Z )
33		ulmscl 24133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ( ~~> u ` S ) ( x e. S |-> B ) -> S e. _V )
34		mptexg 6484	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. _V -> ( x e. S |-> A ) e. _V )
35	6, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) e. _V )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( x e. S |-> A ) e. _V )
37	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Z /\ ( x e. S |-> A ) e. _V ) -> ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) = ( x e. S |-> A ) )
38	32, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) = ( x e. S |-> A ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) = ( ( x e. S |-> A ) ` x ) )
40		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> x e. S )
41	35	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. Z ( x e. S |-> A ) e. _V )
42	4	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. Z ( x e. S |-> A ) e. _V -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) Fn Z )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) Fn Z )
44		ulmf2 24138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) Fn Z /\ ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ( ~~> u ` S ) ( x e. S |-> B ) ) -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) : Z --> ( CC ^m S ) )
45	43, 6, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) : Z --> ( CC ^m S ) )
46	4	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. Z ( x e. S |-> A ) e. ( CC ^m S ) <-> ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) : Z --> ( CC ^m S ) )
47	45, 46	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z ( x e. S |-> A ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( x e. S |-> A ) e. ( CC ^m S ) )
49		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. S |-> A ) e. ( CC ^m S ) -> ( x e. S |-> A ) : S --> CC )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( x e. S |-> A ) : S --> CC )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> A ) = ( x e. S |-> A )
52	51	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. S A e. CC <-> ( x e. S |-> A ) : S --> CC )
53	50, 52	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. x e. S A e. CC )
54	53	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> A e. CC )
55	51	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ A e. CC ) -> ( ( x e. S |-> A ) ` x ) = A )
56	40, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( x e. S |-> A ) ` x ) = A )
57	39, 56	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) = A )
58	57	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x = S. S A _d x )
59	58	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S A _d x ) )
60	31, 59	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> S. S ( ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ` n ) ` z ) _d z ) = ( k e. Z |-> S. S A _d x ) )
61		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( x e. S |-> B ) ` z ) = ( ( x e. S |-> B ) ` x ) )
62		nffvmpt1 6199	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. S |-> B ) ` z )
63		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ z ( ( x e. S |-> B ) ` x )
64	61, 62, 63	cbvitg 23542	. . . 4 |- S. S ( ( x e. S |-> B ) ` z ) _d z = S. S ( ( x e. S |-> B ) ` x ) _d x
65		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
66		ulmcl 24135	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Z |-> ( x e. S |-> A ) ) ( ~~> u ` S ) ( x e. S |-> B ) -> ( x e. S |-> B ) : S --> CC )
67	6, 66	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) : S --> CC )
68		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S |-> B ) = ( x e. S |-> B )
69	68	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S B e. CC <-> ( x e. S |-> B ) : S --> CC )
70	67, 69	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
71	70	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
72	68	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ B e. CC ) -> ( ( x e. S |-> B ) ` x ) = B )
73	65, 71, 72	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( x e. S |-> B ) ` x ) = B )
74	73	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. S ( ( x e. S |-> B ) ` x ) _d x = S. S B _d x )
75	64, 74	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S. S ( ( x e. S |-> B ) ` z ) _d z = S. S B _d x )
76	9, 60, 75	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S A _d x ) ~~> S. S B _d x )
77	8, 76	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> B ) e. L^1 /\ ( k e. Z |-> S. S A _d x ) ~~> S. S B _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ulm 24131

This theorem is referenced by: (None)