Theorem itgcn 23609

Description: Transfer itg2cn 23530 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgcn.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgcn.3	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itgcn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, A   B, d, u   C, d, u   ph, d, u, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 23534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 23404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6	5	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7	5	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
8		elrege0 12278	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
9	6, 7, 8	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		0e0icopnf 12282	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
12	9, 11	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
15	13, 14	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
16	3, 4	mbfdm2 23405	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
17		mblss 23299	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
18	16, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
19		rembl 23308	. . . . 5 |- RR e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
21	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
22		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
24	23	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
25		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
26	25	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) )
27	4, 1	iblabs 23595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
28	6, 7	iblpos 23559	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
29	27, 28	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
30	29	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
31	26, 30	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
32	18, 20, 21, 24, 31	mbfss 23413	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
33	29	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
34		itgcn.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
35	15, 32, 33, 34	itg2cn 23530	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
36		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u C_ A )
37	36	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> x e. A )
38	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
39	37, 38	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> B e. CC )
40	39	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> ( abs ` B ) e. RR )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u e. dom vol )
42	38	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
43	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
44	36, 41, 42, 43	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
45	39	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
46	40, 44, 45	itgposval 23562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
47	36	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u -> x e. A ) )
48	47	pm4.71d 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u <-> ( x e. u /\ x e. A ) ) )
49	48	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) )
50		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 )
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
52	51	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
55		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. u
56		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y )
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x 0
58	55, 56, 57	nfif 4115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 )
59		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 )
60		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) )
62	60, 61	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) = if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
63	58, 59, 62	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
64		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` B ) e. _V
65		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
66	64, 65	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V
67	14	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
68	66, 67	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
69	68	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
70	69	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
71	63, 70	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
72	71	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
73	54, 72	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) )
74	73	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S. u ( abs ` B ) _d x < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	biimprd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )
76	75	imim2d 57	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
77	76	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( u C_ A -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
78	77	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( u C_ A -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
79	78	imp4a 614	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
80	79	ralimdva 2962	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
81	80	reximdv 3016	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
82	35, 81	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   [,)cico 12177   abscabs 13974   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1a  23800