Theorem pilem3 24207

Description: Lemma for pire 24210, pigt2lt4 24208 and sinpi 24209. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	|- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 2 e. RR )
3		4re 11097	. . . . 5 |- 4 e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 4 e. RR )
5		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. RR )
7		2lt4 11198	. . . . 5 |- 2 < 4
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 2 < 4 )
9		iccssre 12255	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( 2 [,] 4 ) C_ RR )
10	1, 3, 9	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 2 [,] 4 ) C_ RR
11		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
12	10, 11	sstri 3612	. . . . 5 |- ( 2 [,] 4 ) C_ CC
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 [,] 4 ) C_ CC )
14		sincn 24198	. . . . 5 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
15	14	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
16	10	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( y e. ( 2 [,] 4 ) -> y e. RR )
17	16	resincld 14873	. . . . 5 |- ( y e. ( 2 [,] 4 ) -> ( sin ` y ) e. RR )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( 2 [,] 4 ) ) -> ( sin ` y ) e. RR )
19		sin4lt0 14925	. . . . . 6 |- ( sin ` 4 ) < 0
20		sincos2sgn 14924	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
21	20	simpli 474	. . . . . 6 |- 0 < ( sin ` 2 )
22	19, 21	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( ( sin ` 4 ) < 0 /\ 0 < ( sin ` 2 ) )
23	22	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( ( sin ` 4 ) < 0 /\ 0 < ( sin ` 2 ) ) )
24	2, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23	ivth2 23224	. . 3 |- ( T. -> E. x e. ( 2 (,) 4 ) ( sin ` x ) = 0 )
25	24	trud 1493	. 2 |- E. x e. ( 2 (,) 4 ) ( sin ` x ) = 0
26		df-pi 14803	. . . . . . 7 |- pi = inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < )
27		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 2 (,) 4 ) -> x e. RR )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x e. RR )
29	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> 0 e. RR )
30	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> 2 e. RR )
31		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> 0 < 2 )
33		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 2 (,) 4 ) -> ( 2 < x /\ x < 4 ) )
34	33	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 < x )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> 2 < x )
36	29, 30, 28, 32, 35	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> 0 < x )
37	28, 36	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x e. RR+ )
38		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( sin ` x ) = 0 )
39		pilem1 24205	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) <-> ( x e. RR+ /\ ( sin ` x ) = 0 ) )
40	37, 38, 39	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
41		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR+
42		rpssre 11843	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR
43	41, 42	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR
44	41	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> z e. RR+ )
45	44	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> 0 <_ z )
46	45	rgen 2922	. . . . . . . . . 10 |- A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) 0 <_ z
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = 0 -> ( y <_ z <-> 0 <_ z ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z <-> A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) 0 <_ z ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) 0 <_ z ) -> E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z )
50	5, 46, 49	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z
51		infrelb 11008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR /\ E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z /\ x e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) <_ x )
52	43, 50, 51	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) <_ x )
53	40, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) <_ x )
54	26, 53	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> pi <_ x )
55		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> x e. ( 2 (,) 4 ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
57		pilem1 24205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) <-> ( y e. RR+ /\ ( sin ` y ) = 0 ) )
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> ( y e. RR+ /\ ( sin ` y ) = 0 ) )
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> y e. RR+ )
60		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> ( sin ` x ) = 0 )
61	58	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> ( sin ` y ) = 0 )
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> pi < x )
63	55, 59, 60, 61, 62	pilem2 24206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) /\ y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> ( ( pi + x ) / 2 ) <_ y )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> A. y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi + x ) / 2 ) <_ y )
65	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR )
66		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) )
67	40, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) )
69	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z )
70		infrecl 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR /\ ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) e. RR )
71	43, 50, 70	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) e. RR )
72	67, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) e. RR )
73	26, 72	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> pi e. RR )
74	73, 28	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi + x ) e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( pi + x ) e. RR )
76	75	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( ( pi + x ) / 2 ) e. RR )
77		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) C_ RR /\ ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) y <_ z ) /\ ( ( pi + x ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( pi + x ) / 2 ) <_ inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) <-> A. y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi + x ) / 2 ) <_ y ) )
78	65, 68, 69, 76, 77	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( ( ( pi + x ) / 2 ) <_ inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) <-> A. y e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi + x ) / 2 ) <_ y ) )
79	64, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( ( pi + x ) / 2 ) <_ inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) )
80	79, 26	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) /\ pi < x ) -> ( ( pi + x ) / 2 ) <_ pi )
81	80	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi < x -> ( ( pi + x ) / 2 ) <_ pi ) )
82	73, 28	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi < x <-> -. x <_ pi ) )
83	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> pi e. CC )
84	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x e. CC )
85	83, 84	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi + x ) = ( x + pi ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( ( pi + x ) / 2 ) = ( ( x + pi ) / 2 ) )
87	86	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( ( ( pi + x ) / 2 ) <_ pi <-> ( ( x + pi ) / 2 ) <_ pi ) )
88		avgle2 11273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ pi e. RR ) -> ( x <_ pi <-> ( ( x + pi ) / 2 ) <_ pi ) )
89	28, 73, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( x <_ pi <-> ( ( x + pi ) / 2 ) <_ pi ) )
90	87, 89	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( ( ( pi + x ) / 2 ) <_ pi <-> x <_ pi ) )
91	81, 82, 90	3imtr3d 282	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( -. x <_ pi -> x <_ pi ) )
92	91	pm2.18d 124	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x <_ pi )
93	73, 28	letri3d 10179	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi = x <-> ( pi <_ x /\ x <_ pi ) ) )
94	54, 92, 93	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> pi = x )
95		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> x e. ( 2 (,) 4 ) )
96	94, 95	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> pi e. ( 2 (,) 4 ) )
97	94	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( sin ` pi ) = ( sin ` x ) )
98	97, 38	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( sin ` pi ) = 0 )
99	96, 98	jca 554	. . 3 |- ( ( x e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` x ) = 0 ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
100	99	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. x e. ( 2 (,) 4 ) ( sin ` x ) = 0 -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
101	25, 100	ax-mp 5	1 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  24208  sinpi  24209  pire  24210