Theorem stoweidlem11 40228

Description: This lemma is used to prove that there is a function g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem11.1	|- ( ph -> N e. NN )
stoweidlem11.2	|- ( ph -> t e. T )
stoweidlem11.3	|- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
stoweidlem11.6	|- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
stoweidlem11.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem11.8	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem11	|- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Distinct variable groups:   i, j   t, i, E   i, N, t   ph, i   t, T   t, X

Allowed substitution hints:   ph( t, j)   T( i, j)   E( j)   N( j)   X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem11.2	. . 3 |- ( ph -> t e. T )
2		sumex 14418	. . 3 |- sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 6291	. . 3 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) )
6		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
7		stoweidlem11.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
8	7	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
10		stoweidlem11.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
11	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> t e. T )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
13	9, 12	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
14	6, 13	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
15		stoweidlem11.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> j e. ( 1 ... N ) )
16		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
20	19	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ph -> j e. ZZ )
21	20	zred 11482	. . . . 5 |- ( ph -> j e. RR )
22	8, 21	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( E x. j ) e. RR )
23		stoweidlem11.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
24	23	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
25	24, 21	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - j ) e. RR )
26		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27	25, 26	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. RR )
28	8, 23	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
29	8, 28	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
30	27, 29	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) e. RR )
31	22, 30	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
32		3re 11094	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 e. RR )
34		3ne0 11115	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
36	33, 35	rereccld 10852	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
37	21, 36	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
38	37, 8	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
39		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin )
40	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> E e. RR )
41		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. ZZ )
42		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
43	15, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ZZ )
44	23	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
45	21, 26	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. RR )
46	21	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ j )
47		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
48		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ N )
49	15, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j <_ N )
50	45, 21, 24, 46, 49	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) <_ N )
51		eluz2 11693	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) <-> ( ( j - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( j - 1 ) <_ N ) )
52	43, 44, 50, 51	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) )
53		fzss2 12381	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( j - 1 ) ) -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
55	54	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
56	55, 12	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
57	40, 56	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
58	39, 57	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
59	58, 30	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) e. RR )
60	21	ltm1d 10956	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j - 1 ) < j )
61		fzdisj 12368	. . . . . . 7 |- ( ( j - 1 ) < j -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) i^i ( j ... N ) ) = (/) )
63		fzssp1 12384	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
64	23	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
65		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
66	64, 65	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
68	63, 67	syl5sseq 3653	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
69		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
70		fzsubel 12377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
71	69, 44, 20, 69, 70	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( 1 ... N ) <-> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) )
72	15, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
73		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
74	73	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
75	72, 74	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
76	68, 75	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
77		fzsplit 12367	. . . . . . . 8 |- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
79	20	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
80	79, 65	npcand 10396	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( j ... N ) )
82	81	uneq2d 3767	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( ( ( j - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) u. ( j ... N ) ) )
84	7	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
85	84	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> E e. CC )
86	12	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. CC )
87	85, 86	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. CC )
88	62, 83, 6, 87	fsumsplit 14471	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) )
89		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j ... N ) e. Fin )
90	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> E e. RR )
91		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
92		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
93		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
95	19	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ j )
96	92, 26, 21, 94, 95	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ j )
97		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
98	91, 20, 96, 97	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
99		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
101	100	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
102	101, 10	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( X ` i ) : T --> RR )
103	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> t e. T )
104	102, 103	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) e. RR )
105	90, 104	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
106	89, 105	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) e. RR )
107		eluzfz2 12349	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> N e. ( j ... N ) )
108		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( j ... N ) -> ( j ... N ) =/= (/) )
109	15, 47, 107, 108	4syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j ... N ) =/= (/) )
110	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> N e. NN )
111	90, 110	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR )
112	90, 111	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( E / N ) ) e. RR )
113		stoweidlem11.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) )
114	7	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < E )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> 0 < E )
116		ltmul2 10874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ ( E / N ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
117	104, 111, 90, 115, 116	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) ) )
118	113, 117	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( j ... N ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( E x. ( E / N ) ) )
119	89, 109, 105, 112, 118	fsumlt 14532	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) )
120	23	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
121	84, 64, 120	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / N ) e. CC )
122	84, 121	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( E / N ) ) e. CC )
123		fsumconst 14522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ... N ) e. Fin /\ ( E x. ( E / N ) ) e. CC ) -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
124	89, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
125		hashfz 13214	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` j ) -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
126	15, 47, 125	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( j ... N ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` ( j ... N ) ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
128	124, 127	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( E / N ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
129	119, 128	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
130	106, 30, 58, 129	ltadd2dd 10196	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + sum_ i e. ( j ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
131	88, 130	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
132		stoweidlem11.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
133	55, 132	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 )
134		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
135	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < E )
136		lemul2 10876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X ` i ) ` t ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
137	56, 134, 40, 135, 136	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( ( ( X ` i ) ` t ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
138	133, 137	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. 1 ) )
139	84	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. 1 ) = E )
140	139	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. 1 ) = E )
141	138, 140	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) -> ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ E )
142	39, 57, 40, 141	fsumle 14531	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E )
143		fsumconst 14522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... ( j - 1 ) ) e. Fin /\ E e. CC ) -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
144	39, 84, 143	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) )
145		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
146		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
147	146	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
148	17, 147	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
149		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	145, 148, 149	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
151		hashfz 13214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) )
153	79, 65	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - 1 ) e. CC )
154	153	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - 1 ) - 0 ) = ( j - 1 ) )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( j - 1 ) - 0 ) + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
156	152, 155, 80	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) = j )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0 ... ( j - 1 ) ) ) x. E ) = ( j x. E ) )
158	79, 84	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j x. E ) = ( E x. j ) )
159	144, 157, 158	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) E = ( E x. j ) )
160	142, 159	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) <_ ( E x. j ) )
161	58, 22, 30, 160	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( j - 1 ) ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
162	14, 59, 31, 131, 161	ltletrd 10197	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
163	8, 8	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( E x. E ) e. RR )
164	22, 163	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) e. RR )
165	64, 79	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - j ) e. CC )
166	165, 65	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) e. CC )
167	84, 166, 121	mul12d 10245	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) = ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) = ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) )
169	27, 28	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) e. RR )
170	8, 169	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) e. RR )
171	166, 84, 64, 120	div12d 10837	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) = ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) )
172	26, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) e. RR )
173		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> 1 <_ j )
174	15, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ j )
175	26, 21	suble0d 10618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 - j ) <_ 0 <-> 1 <_ j ) )
176	174, 175	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - j ) <_ 0 )
177	172, 92, 24, 176	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) <_ ( N + 0 ) )
178	64, 65, 79	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( 1 + ( N - j ) ) )
179	65, 165	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( N - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
180	178, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 - j ) ) = ( ( N - j ) + 1 ) )
181	64	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
182	177, 180, 181	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - j ) + 1 ) <_ N )
183	23	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < N )
184		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N - j ) + 1 ) e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
185	27, 24, 24, 183, 184	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) <_ N <-> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) ) )
186	182, 185	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ ( N / N ) )
187	64, 120	dividd 10799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N / N ) = 1 )
188	186, 187	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 )
189	27, 23	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) e. RR )
190	189, 26, 7	lemul2d 11916	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) <_ 1 <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) ) )
191	188, 190	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ ( E x. 1 ) )
192	191, 139	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) / N ) ) <_ E )
193	171, 192	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E )
194	169, 8, 7	lemul2d 11916	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) <_ E <-> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) ) )
195	193, 194	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) <_ ( E x. E ) )
196	170, 163, 22, 195	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
197	168, 196	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) <_ ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) )
198	84, 79	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E x. j ) = ( j x. E ) )
199	198	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
200	79, 84, 84	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( E x. E ) ) )
201	199, 200	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) = ( ( j + E ) x. E ) )
202	21, 8	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) e. RR )
203		stoweidlem11.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
204	8, 36, 21, 203	ltadd2dd 10196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + E ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
205	202, 37, 7, 204	ltmul1dd 11927	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + E ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( E x. E ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
207	31, 164, 38, 197, 206	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( ( E x. j ) + ( ( ( N - j ) + 1 ) x. ( E x. ( E / N ) ) ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
208	14, 31, 38, 162, 207	lttrd 10198	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
209	5, 208	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... N ) ( E x. ( ( X ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   #chash 13117   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  stoweidlem34  40251