Theorem aalioulem6 24092

Description: Lemma for aaliou 24093. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )
aalioulem3.e	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem6	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q   x, N

Allowed substitution hints:   N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem6

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . . 4 |- N = (deg ` F )
2		aalioulem2.b	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
3		aalioulem2.c	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4		aalioulem2.d	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
5	1, 2, 3, 4	aalioulem2 24088	. . 3 |- ( ph -> E. a e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
6		aalioulem3.e	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
7	1, 2, 3, 4, 6	aalioulem5 24091	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
8		reeanv 3107	. . 3 |- ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) <-> ( E. a e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ E. b e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
9	5, 7, 8	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
10		r19.26-2 3065	. . . 4 |- ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) <-> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
11		ifcl 4130	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
12	11	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
13		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) -> ( F ` ( p / q ) ) = 0 )
14	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
15		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. NN -> q e. RR+ )
16	15	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. RR+ )
17	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN )
18	17	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. ZZ )
19	16, 18	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
20	14, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
21	20	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR )
22		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> a e. RR+ )
23	22, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( a / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
24	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( a / ( q ^ N ) ) e. RR )
25	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
26		znq 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
27		qre 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
30	25, 29	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
32	31	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
33	21, 24, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
35	14	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
36	22	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> a e. RR )
37		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> b e. RR+ )
38	37	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> b e. RR )
39		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
40	36, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
41	35, 36, 19, 40	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) )
42	41	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
43		letr 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
44	34, 42, 43	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
45	44	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) -> ( ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
47	46	orim2d 885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
48	13, 47	embantd 59	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
49	48	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
50		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 ) -> ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 )
51	37, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( b / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
52	51	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( b / ( q ^ N ) ) e. RR )
53	21, 52, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( b / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( b / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
55		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
56	36, 38, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
57	35, 38, 19, 56	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( b / ( q ^ N ) ) )
58	57	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( b / ( q ^ N ) ) /\ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
59		letr 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( b / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( b / ( q ^ N ) ) /\ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
60	54, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 ) -> ( ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
63	62	orim2d 885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
64	50, 63	embantd 59	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
65	64	adantld 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
66	49, 65	pm2.61dane 2881	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
67	66	ralimdvva 2964	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
68		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = if ( a <_ b , a , b ) -> ( x / ( q ^ N ) ) = ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <-> ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
70	69	orbi2d 738	. . . . . . 7 |- ( x = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
71	70	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( x = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
72	71	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ b , a , b ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
73	12, 67, 72	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
74	10, 73	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
75	74	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( b / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
76	9, 75	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974  Polycply 23940  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-cpn 23633  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  aaliou  24093