Theorem aalioulem5 24091

Description: Lemma for aaliou 24093. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )
aalioulem3.e	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem5	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q   x, N

Allowed substitution hints:   N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem5

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 |- N = (deg ` F )
2		aalioulem2.b	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
3		aalioulem2.c	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
4		aalioulem2.d	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
5		aalioulem3.e	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem4 24090	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
7		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> a e. RR+ )
8		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
9		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) e. RR+ )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) e. RR+ )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) e. RR+ )
12		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
13	12	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. RR+ )
14	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN )
15	14	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. ZZ )
16	13, 15	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
17	11, 16	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
18	17	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR )
19		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 e. RR )
21	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
22		znq 11792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
23		qre 11793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
26	21, 25	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
27	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
28	27	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
29	18, 20, 28	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
31	16	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( 1 / ( q ^ N ) ) e. RR )
32	11	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) e. RR )
33		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> a e. RR+ )
34	33	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> a e. RR )
35		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) <_ 1 )
36	34, 19, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) <_ 1 )
37	32, 20, 16, 36	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( 1 / ( q ^ N ) ) )
38	14	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
39	12, 38	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
40		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 e. NN )
42	39, 41	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( q ^ N ) x. 1 ) e. NN )
43	42	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( ( q ^ N ) x. 1 ) )
44	20, 20, 16	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( 1 / ( q ^ N ) ) <_ 1 <-> 1 <_ ( ( q ^ N ) x. 1 ) ) )
45	43, 44	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( 1 / ( q ^ N ) ) <_ 1 )
46	18, 31, 20, 37, 45	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ 1 )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ 1 )
48		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
49	19, 28, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
50	49	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
51	47, 50	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ 1 /\ 1 <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
52		letr 10131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ 1 /\ 1 <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
53	30, 51, 52	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
54	53	olcd 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
55	54	2a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ 1 < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
56		pm3.21 464	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) ) )
57	56	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) ) )
58	33, 16	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( a / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
59	58	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( a / ( q ^ N ) ) e. RR )
60	18, 59, 28	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) )
62		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) <_ a )
63	34, 19, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> if ( a <_ 1 , a , 1 ) <_ a )
64	32, 34, 16, 63	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) )
65	64	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
66		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( a / ( q ^ N ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( a / ( q ^ N ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
67	61, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
68	67	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
70	69	orim2d 885	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
71	57, 70	imim12d 81	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
72	55, 71, 20, 28	ltlecasei 10145	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
73	72	ralimdvva 2964	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
74		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = if ( a <_ 1 , a , 1 ) -> ( x / ( q ^ N ) ) = ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) )
75	74	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = if ( a <_ 1 , a , 1 ) -> ( ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <-> ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
76	75	orbi2d 738	. . . . . . 7 |- ( x = if ( a <_ 1 , a , 1 ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
77	76	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = if ( a <_ 1 , a , 1 ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
78	77	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( x = if ( a <_ 1 , a , 1 ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) <-> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
79	78	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) e. RR+ /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( if ( a <_ 1 , a , 1 ) / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
80	10, 73, 79	syl6an 568	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
81	80	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 /\ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <_ 1 ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( a / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
82	6, 81	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) =/= 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974  Polycply 23940  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-cpn 23633  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  aalioulem6  24092