Theorem basellem1 24807

Description: Lemma for basel 24816. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised ba Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
basellem1	|- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12370	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... M ) -> K e. NN )
2	1	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... M ) -> K e. RR+ )
3		pirp 24213	. . . . 5 |- pi e. RR+
4		rpmulcl 11855	. . . . 5 |- ( ( K e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( K x. pi ) e. RR+ )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... M ) -> ( K x. pi ) e. RR+ )
6		basel.n	. . . . . 6 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
7		2nn 11185	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
9	7, 8	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
10	9	peano2nnd 11037	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
11	6, 10	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( M e. NN -> N e. NN )
12	11	nnrpd 11870	. . . 4 |- ( M e. NN -> N e. RR+ )
13		rpdivcl 11856	. . . 4 |- ( ( ( K x. pi ) e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( ( K x. pi ) / N ) e. RR+ )
14	5, 12, 13	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) e. RR+ )
15	14	rpred 11872	. 2 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) e. RR )
16	14	rpgt0d 11875	. 2 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( ( K x. pi ) / N ) )
17	1	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> K e. NN )
18		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ 2 e. NN ) -> ( K x. 2 ) e. NN )
19	17, 7, 18	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) e. NN )
20	19	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) e. RR )
21	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
22	21	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 x. M ) e. RR )
23	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
24	23	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> N e. RR )
25	6, 24	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. RR )
26	17	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> K e. CC )
27		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
28		mulcom 10022	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( K x. 2 ) = ( 2 x. K ) )
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) = ( 2 x. K ) )
30		elfzle2 12345	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... M ) -> K <_ M )
31	30	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> K <_ M )
32	17	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> K e. RR )
33		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. RR )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> M e. RR )
35		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
36		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
37	35, 36	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
39		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( K <_ M <-> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. M ) ) )
40	32, 34, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K <_ M <-> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. M ) ) )
41	31, 40	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 x. K ) <_ ( 2 x. M ) )
42	29, 41	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) <_ ( 2 x. M ) )
43	22	ltp1d 10954	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 x. M ) < ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
44	20, 22, 25, 42, 43	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) < ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
45	44, 6	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. 2 ) < N )
46	19	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( K x. 2 ) )
47	23	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < N )
48		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
49		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( K e. RR /\ pi e. RR ) -> ( K x. pi ) e. RR )
50	32, 48, 49	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. pi ) e. RR )
51	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( K x. pi ) e. RR+ )
52	51	rpgt0d 11875	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( K x. pi ) )
53		ltdiv2 10909	. . . . 5 |- ( ( ( ( K x. 2 ) e. RR /\ 0 < ( K x. 2 ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( ( K x. pi ) e. RR /\ 0 < ( K x. pi ) ) ) -> ( ( K x. 2 ) < N <-> ( ( K x. pi ) / N ) < ( ( K x. pi ) / ( K x. 2 ) ) ) )
54	20, 46, 24, 47, 50, 52, 53	syl222anc 1342	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. 2 ) < N <-> ( ( K x. pi ) / N ) < ( ( K x. pi ) / ( K x. 2 ) ) ) )
55	45, 54	mpbid 222	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) < ( ( K x. pi ) / ( K x. 2 ) ) )
56		picn 24211	. . . . 5 |- pi e. CC
57	56	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> pi e. CC )
58		2cnne0 11242	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
59	58	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
60	17	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> K =/= 0 )
61		divcan5 10727	. . . 4 |- ( ( pi e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( K e. CC /\ K =/= 0 ) ) -> ( ( K x. pi ) / ( K x. 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
62	57, 59, 26, 60, 61	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / ( K x. 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
63	55, 62	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) )
64		0xr 10086	. . 3 |- 0 e. RR*
65		rehalfcl 11258	. . . 4 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
66		rexr 10085	. . . 4 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR* )
67	48, 65, 66	mp2b 10	. . 3 |- ( pi / 2 ) e. RR*
68		elioo2 12216	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( ( K x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( ( K x. pi ) / N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. pi ) / N ) /\ ( ( K x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) ) )
69	64, 67, 68	mp2an 708	. 2 |- ( ( ( K x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( ( K x. pi ) / N ) e. RR /\ 0 < ( ( K x. pi ) / N ) /\ ( ( K x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
70	15, 16, 63, 69	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( M e. NN /\ K e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( K x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  basellem4  24810  basellem8  24814