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Theorem efopn 24404

Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
efopn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
efopn

Proof of Theorem efopn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efopn.j	. . . . . . . 8 ℂ_fld
2	1	cnfldtopon 22586	. . . . . . 7 TopOn
3		toponss 20731	. . . . . . 7 TopOn $/\$
4	2, 3	mpan 706	. . . . . 6
5	4	sselda 3603	. . . . 5 $/\$
6		cnxmet 22576	. . . . . 6
7		pirp 24213	. . . . . . 7
8	1	cnfldtopn 22585	. . . . . . . 8
9	8	mopni3 22299	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	7, 9	mpan2 707	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
11	6, 10	mp3an1 1411	. . . . 5 $/\$ $/\$
12		imass2 5501	. . . . . . . 8
13		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . 14
14		eff 14812	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
17	13, 16	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
18		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . 13
19	17, 18	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12
20		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
21		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
22	6, 21	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
23	20, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	25, 26	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
33	27, 30, 32	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
35	25, 26, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	29, 33, 35	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
43	38, 41, 26, 25, 42	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	37, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	36, 44	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
48	38, 41, 46, 27, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	45, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		efsub 14830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
51	25, 26, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
55	49, 51, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58	57	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	55, 58	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
61		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	39	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
67		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
68	6, 30, 67	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		efne0 14827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	63, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	62, 65, 72, 74	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	61, 75	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	63, 70	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	70	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	77, 78	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	63, 70	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
83	81, 63, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	31	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
85	70, 30, 84	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	80, 83, 85	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
93	88, 90, 91, 70, 92	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	87, 93	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	86, 94	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
97	88, 90, 63, 81, 96	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	95, 97	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
100	63, 70, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102	101	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103	102	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
104	98, 100, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106	105	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107	104, 106	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	76, 107	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
110	60, 109	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
111		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	14, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
113		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	112, 24, 113	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116	112, 69, 115	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
117	110, 114, 116	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	rabbi2dva 3821	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
119	19, 118	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
120		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
121	120	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . 11
122	119, 121	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
123	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
124	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
125	120	divccncf 22709	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
126	123, 124, 125	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
127	1	cncfcn1 22713	. . . . . . . . . . . 12
128	126, 127	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
129	1	efopnlem2 24403	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
131		cnima 21069	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	128, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
133	122, 132	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
134		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
135	6, 134	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13
137	14, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
138	14	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . 13
139	23, 138	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
141	137, 139, 140	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	135, 141	mpd 15	. . . . . . . . . 10 $/\$
143	142	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12
145		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12
146	144, 145	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
147	146	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	expr 643	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
149	133, 143, 148	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
150	12, 149	syl5 34	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	expimpd 629	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	rexlimdva 3031	. . . . 5 $/\$ $/\$
153	5, 11, 152	sylc 65	. . . 4 $/\$ $/\$
154	153	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
155		eleq1 2689	. . . . . . 7
156	155	anbi1d 741	. . . . . 6 $/\$ $/\$
157	156	rexbidv 3052	. . . . 5 $/\$ $/\$
158	157	ralima 6498	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
159	112, 4, 158	sylancr 695	. . 3 $/\$ $/\$
160	154, 159	mpbird 247	. 2 $/\$
161	1	cnfldtop 22587	. . 3
162		eltop2 20779	. . 3 $/\$
163	161, 162	ax-mp 5	. 2 $/\$
164	160, 163	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cin 3573

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cmin 10266

cdiv 10684

crp 11832

cabs 13974

ce 14792

cpi 14797

ctopn 16082

cxmt 19731

cbl 19733 ℂ_fldccnfld 19746

ctop 20698 TopOnctopon 20715

ccn 21028

ccncf 22679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

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