Theorem ege2le3 14820

Description: Lemma for egt2lt3 14934. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
erelem1.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	|- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
3		1e0p1 11552	. . . . . 6 |- 1 = ( 0 + 1 )
4		0z 11388	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
5		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 0 ) )
6		fac0 13063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ! ` 0 ) = 1
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = 1 )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
9		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
10	9	div1i 10753	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
11	8, 10	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
12		erelem1.2	. . . . . . . . 9 |- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
13		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. NN0 -> ( G ` 0 ) = 1 )
15	2, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( G ` 0 ) = 1 )
16	4, 15	seq1i 12815	. . . . . 6 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1 )
17		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 1 ) )
19		fac1 13064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ! ` 1 ) = 1
20	18, 19	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = 1 )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
22	21, 10	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
23	22, 12, 13	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN0 -> ( G ` 1 ) = 1 )
24	17, 23	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> ( G ` 1 ) = 1 )
25	1, 2, 3, 16, 24	seqp1i 12817	. . . . 5 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = ( 1 + 1 ) )
26		df-2 11079	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = 2 )
28	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
29		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
30		1exp 12889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
33	32	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
34	12, 33	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
35	34	efcvg 14815	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
36	9, 35	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
37		df-e 14799	. . . . . 6 |- _e = ( exp ` 1 )
38	36, 37	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> _e )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
41		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1 / ( ! ` k ) ) e. _V
42	40, 12, 41	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
43	42	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
44		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
46	45	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
47	43, 46	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
48	45	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
49	45	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` k ) )
50		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
51		0le1 10551	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
52		divge0 10892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
53	50, 51, 52	mpanl12 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
54	48, 49, 53	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
55	54, 43	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
56	1, 28, 38, 47, 55	climserle 14393	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) <_ _e )
57	27, 56	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( T. -> 2 <_ _e )
58	57	trud 1493	. 2 |- 2 <_ _e
59		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
61	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
62	47	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
63	1, 61, 62, 38	clim2ser 14385	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) ~~> ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) )
64		0p1e1 11132	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
65		seqeq1 12804	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G )
67	16	trud 1493	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1
68	67	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) = ( _e - 1 )
69	63, 66, 68	3brtr3g 4686	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , G ) ~~> ( _e - 1 ) )
70		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 2 e. CC )
71		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
73		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. _V
74	71, 72, 73	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
76		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
78		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
79	76, 77, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
80	79	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. CC )
81	75, 80	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
82		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
83		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
84		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 2
85		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
86	83, 84, 85	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 2 ) = 2
87	82, 86	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ( abs ` 2 )
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 < ( abs ` 2 ) )
89	70, 88, 75	georeclim 14603	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 / ( 2 - 1 ) ) )
90		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 - 1 ) = 1
91	90	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = ( 2 / 1 )
92		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
93	92	div1i 10753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / 1 ) = 2
94	91, 93	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = 2
95	89, 94	syl6breq 4694	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 2 )
96	1, 61, 81, 95	clim2ser 14385	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) )
97		seqeq1 12804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) )
98	64, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
99		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
100		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. _V
101	99, 72, 100	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
102	2, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 )
103		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. CC
104		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
106	102, 105	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = 1
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = 1 )
108	4, 107	seq1i 12815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1 )
109	108	trud 1493	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1
110	109	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = ( 2 - 1 )
111	110, 90	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = 1
112	96, 98, 111	3brtr3g 4686	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 1 )
113		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
114	113, 81	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
115	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
116		erelem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
117		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. _V
118	115, 116, 117	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
120	113, 75	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
122	119, 121	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) )
123	59, 60, 70, 112, 114, 122	isermulc2 14388	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 2 x. 1 ) )
124		2t1e2 11176	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
125	123, 124	syl6breq 4694	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 2 )
126	113, 47	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
127		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
128	83, 79, 127	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
129	113, 128	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
130	119, 129	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
131		faclbnd2 13078	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
133		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
134		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
135	133, 77, 134	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
136	135	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
137	136	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) e. RR+ )
138	45	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
139	137, 138	lerecd 11891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) <-> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) ) )
140	132, 139	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
141		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
142	135	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
143	135	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) =/= 0 )
144	141, 142, 143	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 / ( 2 ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
145		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
146		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ ( 2 ^ k ) =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
147	92, 145, 146	mpanr12 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ ( 2 ^ k ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
148	142, 143, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 =/= 0 )
150		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
152	141, 149, 151	exprecd 13016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
154	144, 148, 153	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
155	140, 154	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
156	113, 155	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
157	113, 43	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
158	156, 157, 119	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
159	59, 60, 69, 125, 126, 130, 158	iserle 14390	. . . . 5 |- ( T. -> ( _e - 1 ) <_ 2 )
160	159	trud 1493	. . . 4 |- ( _e - 1 ) <_ 2
161		ere 14819	. . . . 5 |- _e e. RR
162	161, 50, 83	lesubaddi 10586	. . . 4 |- ( ( _e - 1 ) <_ 2 <-> _e <_ ( 2 + 1 ) )
163	160, 162	mpbi 220	. . 3 |- _e <_ ( 2 + 1 )
164		df-3 11080	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
165	163, 164	breqtrri 4680	. 2 |- _e <_ 3
166	58, 165	pm3.2i 471	1 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   ~~> cli 14215   expce 14792   _eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  egt2lt3  14934