Theorem dchrisum0flb 25199

Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum0f.f	|- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
dchrisum0f.x	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum0flb.r	|- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
dchrisum0flb.a	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0flb	|- ( ph -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   q, b, v, A   N, q   L, b, v   X, b, v

Allowed substitution hints:   ph( v, q, b)   D( v, q, b)   .1. ( v, q, b)   F( v, q, b)   G( v, q, b)   L( q)   N( v, b)   X( q)   Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flb

Dummy variables k y i p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum0flb.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 1 ) -> A e. ( 1 ... A ) )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. ( 1 ... A ) )
6		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... 1 ) )
7	6	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . 4 |- ( k = 1 -> ( ( ph -> A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ph -> A. y e. ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... i ) )
10	9	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( k = i -> ( A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . 4 |- ( k = i -> ( ( ph -> A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ph -> A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
12		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... ( i + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . . 4 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ph -> A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
15		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = A -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... A ) )
16	15	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( k = A -> ( A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . . 4 |- ( k = A -> ( ( ph -> A. y e. ( 1 ... k ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ph -> A. y e. ( 1 ... A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
18		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
19		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
20		rpvmasum.a	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
21		rpvmasum2.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
22		rpvmasum2.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
23		rpvmasum2.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 0g ` G )
24		dchrisum0f.f	. . . . . 6 |- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
25		dchrisum0f.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. D )
26		dchrisum0flb.r	. . . . . 6 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
27		2prm 15405	. . . . . . 7 |- 2 e. Prime
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. Prime )
29		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
31	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30	dchrisum0flblem1 25197	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( 2 ^ 0 ) ) )
32		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> y = 1 )
33		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
34	33	numexp0 15780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
35	32, 34	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> y = ( 2 ^ 0 ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> ( ( sqr ` y ) e. NN <-> ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN ) )
38	37	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) = if ( ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN , 1 , 0 ) )
39	35	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( 2 ^ 0 ) ) )
40	38, 39	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 ... 1 ) -> ( if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> if ( ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( 2 ^ 0 ) ) ) )
41	40	biimprcd 240	. . . . . 6 |- ( if ( ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( 2 ^ 0 ) ) -> ( y e. ( 1 ... 1 ) -> if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
42	41	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( if ( ( sqr ` ( 2 ^ 0 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( 2 ^ 0 ) ) -> A. y e. ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
43	31, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
45	44, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
46	45	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
47		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
49		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
50	49	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
51	48, 50	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52		exprmfct 15416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( i + 1 ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> E. p e. Prime p || ( i + 1 ) )
54	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> N e. NN )
55	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> X e. D )
56	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
57	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
58		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> p e. Prime )
59		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> p || ( i + 1 ) )
60		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
61		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> i e. NN )
62	61	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
63		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( 1 ... i ) = ( 1..^ ( i + 1 ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> ( 1 ... i ) = ( 1..^ ( i + 1 ) ) )
65	64	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
66	60, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> A. y e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
67	18, 19, 54, 21, 22, 23, 24, 55, 56, 57, 58, 59, 66	dchrisum0flblem2 25198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( i + 1 ) ) ) -> if ( ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( i + 1 ) ) )
68	53, 67	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> if ( ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( i + 1 ) ) )
69		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( i + 1 ) e. _V
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( i + 1 ) ) )
71	70	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( ( sqr ` y ) e. NN <-> ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN ) )
72	71	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( i + 1 ) -> if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) = if ( ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN , 1 , 0 ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
74	72, 73	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> if ( ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
75	69, 74	ralsn 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> if ( ( sqr ` ( i + 1 ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( i + 1 ) ) )
76	68, 75	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. NN /\ A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) -> A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
77	76	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
78	77	ancld 576	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) /\ A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
79		fzsuc 12388	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( i + 1 ) ) = ( ( 1 ... i ) u. { ( i + 1 ) } ) )
80	45, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 ... ( i + 1 ) ) = ( ( 1 ... i ) u. { ( i + 1 ) } ) )
81	80	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> A. y e. ( ( 1 ... i ) u. { ( i + 1 ) } ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
82		ralunb 3794	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. ( ( 1 ... i ) u. { ( i + 1 ) } ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) /\ A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
83	81, 82	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) /\ A. y e. { ( i + 1 ) } if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
84	78, 83	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
85	84	expcom 451	. . . . 5 |- ( i e. NN -> ( ph -> ( A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
86	85	a2d 29	. . . 4 |- ( i e. NN -> ( ( ph -> A. y e. ( 1 ... i ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) -> ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( i + 1 ) ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) ) )
87	8, 11, 14, 17, 43, 86	nnind 11038	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ph -> A. y e. ( 1 ... A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) ) )
88	1, 87	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> A. y e. ( 1 ... A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
89		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` A ) )
90	89	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( sqr ` y ) e. NN <-> ( sqr ` A ) e. NN ) )
91	90	ifbid 4108	. . . 4 |- ( y = A -> if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) = if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) )
92		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = A -> ( F ` y ) = ( F ` A ) )
93	91, 92	breq12d 4666	. . 3 |- ( y = A -> ( if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) ) )
94	93	rspcv 3305	. 2 |- ( A e. ( 1 ... A ) -> ( A. y e. ( 1 ... A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) ) )
95	5, 88, 94	sylc 65	1 |- ( ph -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  25200