Theorem expdiophlem1 37588

Description: Lemma for expdioph 37590. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref

Expression

expdiophlem1

|- ( C e. NN0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ C = ( A ^ B ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, e, f   B, d, e, f   C, d, e, f

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
3		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> ( B + 1 ) e. RR )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( B + 1 ) e. RR )
7		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
8	7	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> ( B + 1 ) e. ZZ )
9		frmy 37479	. . . . . . . . . . . . 13 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
10	9	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ZZ )
11	8, 10	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ZZ )
12	11	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. RR )
13		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN <-> B e. ( ZZ>= ` 1 ) )
14		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
15		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
16	15	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
17	14, 16	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
18	13, 17	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
19		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ ( B + 1 ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> 2 <_ ( B + 1 ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> 2 <_ ( B + 1 ) )
22		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
23		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. NN0 -> ( B + 1 ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> ( B + 1 ) e. NN0 )
25		rmygeid 37531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B + 1 ) e. NN0 ) -> ( B + 1 ) <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) )
26	24, 25	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( B + 1 ) <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) )
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> 2 <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) )
28		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
29		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) )
30	28, 11, 29	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> 2 <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) )
31	27, 30	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
33		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
34		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> B e. NN )
35	12	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) )
37		jm3.1 37587	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( A Yrm ( B + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) -> ( A ^ B ) = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) )
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( A ^ B ) = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( C = ( A ^ B ) <-> C = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) ) )
40	7	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
41		frmx 37478	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
42	41	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) e. NN0 )
43	31, 40, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) e. NN0 )
44	43	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) e. ZZ )
45		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
47	11, 46	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) e. ZZ )
48	9	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) e. ZZ )
49	31, 40, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) e. ZZ )
50	47, 49	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) e. ZZ )
51	44, 50	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) e. ZZ )
52	51	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) e. ZZ )
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 37586	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) e. NN )
54		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> C e. NN0 )
55		divalgmodcl 15131	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( C = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( C = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
57	39, 56	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( C = ( A ^ B ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
58		rmynn0 37524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B + 1 ) e. NN0 ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. NN0 )
59	24, 58	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. NN0 )
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. NN0 )
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( d Yrm B ) = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) )
62	61	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( e = ( d Yrm B ) <-> e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) )
63		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( d Xrm B ) = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) )
64	63	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( f = ( d Xrm B ) <-> f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( 2 x. d ) = ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( 2 x. d ) x. A ) = ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) )
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) )
69	68	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) <-> C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) ) )
70		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( d - A ) = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( d - A ) x. e ) = ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) = ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) = ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) )
74	68, 73	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) <-> ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) )
75	69, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) )
76	64, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) <-> ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) )
77	76	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) <-> E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) )
78	62, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> E. e e. NN0 ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
80	79	ceqsrexv 3336	. . . . . . . 8 |- ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. NN0 -> ( E. d e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. e e. NN0 ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
81	60, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( E. d e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. e e. NN0 ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
82	22	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> B e. NN0 )
83		rmynn0 37524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN0 ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) e. NN0 )
84	32, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) e. NN0 )
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) = ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) = ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) = ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) )
88	87	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) <-> ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) )
89	88	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
90	89	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) <-> ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) ) )
91	90	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) -> ( E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) <-> E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) ) )
92	91	ceqsrexv 3336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) e. NN0 -> ( E. e e. NN0 ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) ) )
93	84, 92	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( E. e e. NN0 ( e = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) ) )
94	7	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> B e. ZZ )
95	32, 94, 42	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) e. NN0 )
96		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) -> ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) = ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) )
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) -> ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) = ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) )
98	97	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) -> ( ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) <-> ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) )
99	98	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
100	99	ceqsrexv 3336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) e. NN0 -> ( E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
101	95, 100	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( E. f e. NN0 ( f = ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) <-> ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) ) )
102	81, 93, 101	3bitrrd 295	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) <-> E. d e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
103		r19.42v 3092	. . . . . . . . . 10 |- ( E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. f e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
104		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) )
105	104	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. f e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
106	103, 105	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
107	106	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. e e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
108		r19.42v 3092	. . . . . . . 8 |- ( E. e e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
109	107, 108	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
110	109	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ E. e e. NN0 ( e = ( d Yrm B ) /\ E. f e. NN0 ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
111	102, 110	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
112		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( A Yrm ( B + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
113	32, 112	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) -> d e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
114	113	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) -> d e. ( ZZ>= ` 2 ) )
115		ibar 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( e = ( d Yrm B ) <-> ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) ) )
116		ibar 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( f = ( d Xrm B ) <-> ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) ) )
117	116	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) )
118	115, 117	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
119	114, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) -> ( ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) <-> ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) )
120	119	pm5.32da 673	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
121		ibar 525	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) ) )
122	121	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) ) )
123	122	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
124	120, 123	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
125	124	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
126	125	2rexbidv 3057	. . . . 5 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) /\ ( e = ( d Yrm B ) /\ ( f = ( d Xrm B ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
127	111, 126	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( ( C < ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Xrm B ) - ( ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) - A ) x. ( ( A Yrm ( B + 1 ) ) Yrm B ) ) ) - C ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
128	57, 127	bitrd 268	. . 3 |- ( ( C e. NN0 /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) ) -> ( C = ( A ^ B ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
129	128	pm5.32da 673	. 2 |- ( C e. NN0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ C = ( A ^ B ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) ) )
130		r19.42v 3092	. . . 4 |- ( E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
131	130	2rexbii 3042	. . 3 |- ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
132		r19.42v 3092	. . . . 5 |- ( E. e e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
133	132	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
134		r19.42v 3092	. . . 4 |- ( E. d e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
135	133, 134	bitri 264	. . 3 |- ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
136	131, 135	bitri 264	. 2 |- ( E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) )
137	129, 136	syl6bbr 278	1 |- ( C e. NN0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ C = ( A ^ B ) ) <-> E. d e. NN0 E. e e. NN0 E. f e. NN0 ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( A Yrm ( B + 1 ) ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ e = ( d Yrm B ) ) /\ ( ( d e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ f = ( d Xrm B ) ) /\ ( C < ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. d ) x. A ) - ( A ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( f - ( ( d - A ) x. e ) ) - C ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  37589