Theorem emcllem4 24725

Description: Lemma for emcl 24729. The difference between series F and G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` n ) ) )
emcl.2	|- G = ( n e. NN |-> ( sum_ m e. ( 1 ... n ) ( 1 / m ) - ( log ` ( n + 1 ) ) ) )
emcl.3	|- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
emcllem4	|- H ~~> 0

Distinct variable groups:   m, H   m, n

Allowed substitution hints:   F( m, n)   G( m, n)   H( n)

Proof of Theorem emcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
4		divcnv 14585	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
6		emcl.3	. . . . 5 |- H = ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) )
7		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
8	7	mptex 6486	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2697	. . . 4 |- H e. _V
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> H e. _V )
11		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
13		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 1 / m ) e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) = ( 1 / m ) )
16		nnrecre 11057	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
17	16	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR )
18	15, 17	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) e. RR )
19	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 1 + ( 1 / n ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( log ` ( 1 + ( 1 / n ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
21		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. _V
22	20, 6, 21	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) = ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) )
24		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
25		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
27	26	rpreccld 11882	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR+ )
28		rpaddcl 11854	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
29	24, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR )
31		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
32		ltaddrp 11867	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / m ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
33	31, 27, 32	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 1 < ( 1 + ( 1 / m ) ) )
34	30, 33	rplogcld 24375	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR+ )
35	23, 34	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR+ )
36	35	rpred 11872	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) e. RR )
37	29	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) e. RR )
38		efgt1p 14845	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / m ) e. RR+ -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
39	27, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) )
40	17	rpefcld 14835	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ )
41		logltb 24346	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( 1 / m ) ) e. RR+ /\ ( exp ` ( 1 / m ) ) e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
42	29, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( ( 1 + ( 1 / m ) ) < ( exp ` ( 1 / m ) ) <-> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) ) )
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) )
44	17	relogefd 24374	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( exp ` ( 1 / m ) ) ) = ( 1 / m ) )
45	43, 44	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) < ( 1 / m ) )
46	37, 17, 45	ltled 10185	. . . 4 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( log ` ( 1 + ( 1 / m ) ) ) <_ ( 1 / m ) )
47	46, 23, 15	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` m ) )
48	35	rpge0d 11876	. . 3 |- ( ( T. /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( H ` m ) )
49	1, 2, 5, 10, 18, 36, 47, 48	climsqz2 14372	. 2 |- ( T. -> H ~~> 0 )
50	49	trud 1493	1 |- H ~~> 0

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   expce 14792   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  emcllem6  24727