Theorem relogcld 24369

Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
relogcld.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
relogcld	|- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )

Proof of Theorem relogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		relogcl 24322	. 2 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   RR+crp 11832   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  logcnlem3  24390  advlogexp  24401  logccv  24409  recxpcl  24421  cxpsqrt  24449  loglesqrt  24499  logbrec  24520  logbleb  24521  logblt  24522  ang180lem2  24540  isosctrlem2  24549  atanlogaddlem  24640  atantan  24650  birthdaylem2  24679  birthdaylem3  24680  amgmlem  24716  emcllem1  24722  emcllem2  24723  emcllem3  24724  emcllem4  24725  emcllem5  24726  emcllem6  24727  harmonicubnd  24736  fsumharmonic  24738  zetacvg  24741  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgambdd  24763  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  relgamcl  24788  lgam1  24790  chtf  24834  efchtcl  24837  chtge0  24838  vmacl  24844  chtprm  24879  chtdif  24884  efchtdvds  24885  prmorcht  24904  vmalelog  24930  chtleppi  24935  chtublem  24936  fsumvma2  24939  pclogsum  24940  vmasum  24941  chpval2  24943  chpchtsum  24944  chpub  24945  logfacubnd  24946  logfaclbnd  24947  logexprlim  24950  logfacrlim2  24951  bposlem1  25009  bposlem9  25017  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chtppilimlem1  25162  chpchtlim  25168  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  rplogsum  25216  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  logsqvma  25231  logsqvma2  25232  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  selbergb  25238  selberg2lem  25239  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  chpdifbndlem2  25243  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntsf  25262  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemh  25288  pntlemn  25289  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  ostth2lem4  25325  ostth2  25326  ostth3  25327  xrge0iifcnv  29979  xrge0iifiso  29981  xrge0iifhom  29983  hgt750lemd  30726  logdivsqrle  30728  hgt750lem  30729  hgt750lemb  30734  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  stirlinglem4  40294  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  lighneallem2  41523  rege1logbrege0  42352  amgmwlem  42548