Theorem resinf1o 24282

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	|- ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 24281	. . 3 |- ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) = ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) )
3		halfpire 24216	. . . . . . . 8 |- ( pi / 2 ) e. RR
4		neghalfpire 24217	. . . . . . . . . 10 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
5		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
6	4, 3, 5	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
7	6	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
8		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
9	3, 7, 8	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR )
10	4, 3	elicc2i 12239	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ x /\ x <_ ( pi / 2 ) ) )
11	10	simp3bi 1078	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x <_ ( pi / 2 ) )
12		subge0 10541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
13	3, 7, 12	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) <-> x <_ ( pi / 2 ) ) )
14	11, 13	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) )
15	3	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( pi / 2 ) e. CC
16		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
17	15	negcli 10349	. . . . . . . . . 10 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
18	16, 15	negsubi 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
19		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
21	18, 20	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 10370	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
23	10	simp2bi 1077	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ x )
24	22, 23	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ x )
25		pire 24210	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
26		suble 10506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
27	3, 25, 26	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
28	7, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
29	24, 28	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi )
30		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
31	30, 25	elicc2i 12239	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - x ) /\ ( ( pi / 2 ) - x ) <_ pi ) )
32	9, 14, 29, 31	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
33	32	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) - x ) e. ( 0 [,] pi ) )
34	30, 25	elicc2i 12239	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y <_ pi ) )
35	34	simp1bi 1076	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> y e. RR )
36		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - y ) e. RR )
37	3, 35, 36	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( pi / 2 ) - y ) e. RR )
38	34	simp3bi 1078	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> y <_ pi )
39	15, 15	subnegi 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) )
40	39, 19	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) = pi
41	38, 40	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> y <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) )
42		lesub 10507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( y <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ ( ( pi / 2 ) - y ) ) )
43	3, 4, 42	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( y <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ ( ( pi / 2 ) - y ) ) )
44	35, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( y <_ ( ( pi / 2 ) - -u ( pi / 2 ) ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ ( ( pi / 2 ) - y ) ) )
45	41, 44	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) <_ ( ( pi / 2 ) - y ) )
46	15	subidi 10352	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) = 0
47	34	simp2bi 1077	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> 0 <_ y )
48	46, 47	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) <_ y )
49		suble 10506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) <_ y <-> ( ( pi / 2 ) - y ) <_ ( pi / 2 ) ) )
50	3, 3, 49	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) <_ y <-> ( ( pi / 2 ) - y ) <_ ( pi / 2 ) ) )
51	35, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( pi / 2 ) ) <_ y <-> ( ( pi / 2 ) - y ) <_ ( pi / 2 ) ) )
52	48, 51	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( pi / 2 ) - y ) <_ ( pi / 2 ) )
53	4, 3	elicc2i 12239	. . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) - y ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - y ) e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ ( ( pi / 2 ) - y ) /\ ( ( pi / 2 ) - y ) <_ ( pi / 2 ) ) )
54	37, 45, 52, 53	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( pi / 2 ) - y ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
55	54	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) - y ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
56		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
57	30, 25, 56	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
58		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
59	57, 58	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
60	59	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] pi ) -> y e. CC )
61	6, 58	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ CC
62	61	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> x e. CC )
63		subsub23 10286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - y ) = x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) = y ) )
64	15, 63	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - y ) = x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) = y ) )
65	60, 62, 64	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - y ) = x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) = y ) )
66	65	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - y ) = x <-> ( ( pi / 2 ) - x ) = y ) )
67		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( x = ( ( pi / 2 ) - y ) <-> ( ( pi / 2 ) - y ) = x )
68		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( y = ( ( pi / 2 ) - x ) <-> ( ( pi / 2 ) - x ) = y )
69	66, 67, 68	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) ) -> ( x = ( ( pi / 2 ) - y ) <-> y = ( ( pi / 2 ) - x ) ) )
70	2, 33, 55, 69	f1o2d 6887	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )
71	70	trud 1493	. . 3 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )
72		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) /\ ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
73	1, 71, 72	mp2an 708	. 2 |- ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
74		cosf 14855	. . . . . . . 8 |- cos : CC --> CC
75		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- cos Fn CC
77		fnssres 6004	. . . . . . 7 |- ( ( cos Fn CC /\ ( 0 [,] pi ) C_ CC ) -> ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) Fn ( 0 [,] pi ) )
78	76, 59, 77	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) Fn ( 0 [,] pi )
79	2, 32	fmpti 6383	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) --> ( 0 [,] pi )
80		fnfco 6069	. . . . . 6 |- ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) Fn ( 0 [,] pi ) /\ ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
81	78, 79, 80	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
82		sinf 14854	. . . . . . 7 |- sin : CC --> CC
83		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( sin : CC --> CC -> sin Fn CC )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 |- sin Fn CC
85		fnssres 6004	. . . . . 6 |- ( ( sin Fn CC /\ ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ CC ) -> ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
86	84, 61, 85	mp2an 708	. . . . 5 |- ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
87		eqfnfv 6311	. . . . 5 |- ( ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) /\ ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) Fn ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) <-> A. y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) ` y ) = ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` y ) ) )
88	81, 86, 87	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) <-> A. y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) ` y ) = ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` y ) )
89	79	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) e. ( 0 [,] pi ) )
90		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) = ( cos ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) = ( cos ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) )
92		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( pi / 2 ) - x ) = ( ( pi / 2 ) - y ) )
93		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 2 ) - y ) e. _V
94	92, 2, 93	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) = ( ( pi / 2 ) - y ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) = ( cos ` ( ( pi / 2 ) - y ) ) )
96	61	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> y e. CC )
97		coshalfpim 24247	. . . . . . 7 |- ( y e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - y ) ) = ( sin ` y ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - y ) ) = ( sin ` y ) )
99	91, 95, 98	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) = ( sin ` y ) )
100		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) ` y ) = ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) )
101	79, 100	mpan 706	. . . . 5 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) ` y ) = ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) ` ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ` y ) ) )
102		fvres 6207	. . . . 5 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` y ) = ( sin ` y ) )
103	99, 101, 102	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) ` y ) = ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` y ) )
104	88, 103	mprgbir 2927	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
105		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) <-> ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ( cos |` ( 0 [,] pi ) ) o. ( x e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) |-> ( ( pi / 2 ) - x ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) <-> ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
107	73, 106	mpbi 220	1 |- ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  efif1olem4  24291  asinrebnd  24628