Theorem circlemeth 30718

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, in a generic form, with different weighting / smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemeth.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
circlemeth.s	|- ( ph -> S e. NN )
circlemeth.l	|- ( ph -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )

Assertion

Ref	Expression
circlemeth	|- ( ph -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )

Distinct variable groups:   L, a, c, x   N, a, c, x   S, a, c, x   ph, a, c, x

Proof of Theorem circlemeth

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemeth.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
2	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. NN0 )
3		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
4		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) 1 ) C_ CC
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) 1 ) C_ CC )
7	6	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> x e. CC )
8		circlemeth.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. NN )
9	8	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. NN0 )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> S e. NN0 )
11		circlemeth.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
13	2, 7, 10, 12	vtsprod 30717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
15		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 0 ... ( S x. N ) ) e. Fin )
16		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
17		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
18		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
19	17, 18	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. CC
20	16, 19	mulcli 10045	. . . . . . . 8 |- ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
22	1	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
23	22	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u N e. CC )
24	23	ralrimivw 2967	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( 0 (,) 1 ) -u N e. CC )
25	24	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u N e. CC )
26	25, 7	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( -u N x. x ) e. CC )
27	21, 26	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) e. CC )
28	27	efcld 30669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) e. CC )
29		fz1ssnn 12372	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) C_ NN
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
31		fzssz 12343	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( S x. N ) ) C_ ZZ
32		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) )
33	31, 32	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> m e. ZZ )
34	33	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> m e. ZZ )
35	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> S e. NN0 )
36		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
37	30, 34, 35, 36	reprfi 30694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) e. Fin )
38		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ S ) e. Fin
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
40	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> N e. NN0 )
41	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> S e. NN0 )
42	33	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> m e. CC )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> m e. CC )
44	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
46	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
47	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> m e. ZZ )
48	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> S e. NN0 )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) )
50	46, 47, 48, 49	reprf 30690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) )
52	29, 51	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. NN )
53	40, 41, 43, 44, 45, 52	breprexplemb 30709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
54	53	adantl3r 786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
55	39, 54	fprodcl 14682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
56	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
57	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> m e. CC )
58	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> x e. CC )
59	57, 58	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( m x. x ) e. CC )
60	56, 59	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) e. CC )
61	60	efcld 30669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) e. CC )
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) e. CC )
63	55, 62	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) e. CC )
64	37, 63	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) e. CC )
65	15, 28, 64	fsummulc1 14517	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
66	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) e. CC )
67	37, 66, 63	fsummulc1 14517	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
68	66	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) e. CC )
69	55, 62, 68	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) ) )
70	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) e. CC )
71		efadd 14824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) e. CC /\ ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
72	60, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( exp ` ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
73	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( -u N x. x ) e. CC )
74	56, 59, 73	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m x. x ) + ( -u N x. x ) ) ) = ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) )
75	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> -u N e. CC )
76	57, 75, 58	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( m + -u N ) x. x ) = ( ( m x. x ) + ( -u N x. x ) ) )
77	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> N e. CC )
78	57, 77	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( m + -u N ) = ( m - N ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( m + -u N ) x. x ) = ( ( m - N ) x. x ) )
80	76, 79	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( m x. x ) + ( -u N x. x ) ) = ( ( m - N ) x. x ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m x. x ) + ( -u N x. x ) ) ) = ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) )
82	74, 81	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) = ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( exp ` ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) )
84	72, 83	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
87	69, 86	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
89	67, 88	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
90	89	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( m x. x ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
91	14, 65, 90	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) )
92	91	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) 1 ) sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x )
93		ioombl 23333	. . . . 5 |- ( 0 (,) 1 ) e. dom vol
94	93	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 (,) 1 ) e. dom vol )
95		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( S x. N ) ) e. Fin )
96		sumex 14418	. . . . 5 |- sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. _V
97	96	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 (,) 1 ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. _V )
98	94	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. dom vol )
99	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
100	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> S e. NN0 )
101		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
102	99, 33, 100, 101	reprfi 30694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) e. Fin )
103	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
104	53	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
105	103, 104	fprodcl 14682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
106	57, 77	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( m - N ) e. CC )
107	106, 58	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( m - N ) x. x ) e. CC )
108	56, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) e. CC )
109	108	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) e. CC )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) e. CC )
111	110	efcld 30669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) e. CC )
112	105, 111	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. CC )
113	112	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ ( x e. ( 0 (,) 1 ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. CC )
114	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
115	114, 53	fprodcl 14682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
116		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) e. _V
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) e. _V )
118		ioossicc 12259	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 ) )
120	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. dom vol )
121	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) e. _V )
122		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> 0 e. RR )
123		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> 1 e. RR )
124	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> N e. CC )
125	42, 124	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( m - N ) e. CC )
126		unitsscn 29942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ CC )
128		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> CC C_ CC )
130		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m - N ) e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( m - N ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
131	125, 127, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( m - N ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
132		cncfmptid 22715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
133	127, 129, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
134	131, 133	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( m - N ) x. x ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
135	134	efmul2picn 30674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
136		cniccibl 23607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. L^1 )
137	122, 123, 135, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. L^1 )
138	119, 120, 121, 137	iblss 23571	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. L^1 )
139	138	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) e. L^1 )
140	115, 117, 139	iblmulc2 23597	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) ) e. L^1 )
141	98, 102, 113, 140	itgfsum 23593	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) ) e. L^1 /\ S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x ) )
142	141	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) ) e. L^1 )
143	94, 95, 97, 142	itgfsum 23593	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( 0 (,) 1 ) |-> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) ) e. L^1 /\ S. ( 0 (,) 1 ) sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x ) )
144	143	simprd 479	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) 1 ) sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x )
145		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) = 1 -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) = ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. 1 ) )
146		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) = 0 -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) = ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. 0 ) )
147	102, 115	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
148	147	mulid1d 10057	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. 1 ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
149	147	mul01d 10235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. 0 ) = 0 )
150	145, 146, 148, 149	ifeq3da 29365	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> if ( ( m - N ) = 0 , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) = ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) )
151	42, 124	subeq0ad 10402	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( ( m - N ) = 0 <-> m = N ) )
152		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( m e. { N } <-> m = N )
153	151, 152	syl6rbbr 279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( m e. { N } <-> ( m - N ) = 0 ) )
154	153	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> if ( m e. { N } , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) = if ( ( m - N ) = 0 , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) )
155	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
156	155	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> N e. ZZ )
157	47, 156	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( m - N ) e. ZZ )
158		itgexpif 30684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m - N ) e. ZZ -> S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x = if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x = if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) )
161	160	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) )
162		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> 1 e. CC )
163		0cnd 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> 0 e. CC )
164	162, 163	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) e. CC )
165	102, 164, 115	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) )
166	161, 165	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = ( sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. if ( ( m - N ) = 0 , 1 , 0 ) ) )
167	150, 154, 166	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = if ( m e. { N } , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) )
168	167	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) if ( m e. { N } , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) )
169		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
170	9	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ZZ )
171	170, 155	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S x. N ) e. ZZ )
172	1	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ N )
173		nnmulge 29515	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( S x. N ) )
174	8, 1, 173	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ ( S x. N ) )
175		elfz4 12335	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( S x. N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 0 <_ N /\ N <_ ( S x. N ) ) ) -> N e. ( 0 ... ( S x. N ) ) )
176	169, 171, 155, 172, 174, 175	syl32anc 1334	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( 0 ... ( S x. N ) ) )
177	176	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ph -> { N } C_ ( 0 ... ( S x. N ) ) )
178	177	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. { N } ) -> m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) )
179	178, 147	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. { N } ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
180	179	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
181	95	olcd 408	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( S x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... ( S x. N ) ) e. Fin ) )
182		sumss2 14457	. . . . 5 |- ( ( ( { N } C_ ( 0 ... ( S x. N ) ) /\ A. m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC ) /\ ( ( 0 ... ( S x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... ( S x. N ) ) e. Fin ) ) -> sum_ m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) if ( m e. { N } , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) )
183	177, 180, 181, 182	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) if ( m e. { N } , sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) , 0 ) )
184	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
185		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
186	184, 155, 9, 185	reprfi 30694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) e. Fin )
187	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
188	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> N e. NN0 )
189	9	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> S e. NN0 )
190	22	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> N e. CC )
191	11	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
192		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
193	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
194	155	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> N e. ZZ )
195	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> S e. NN0 )
196		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) )
197	193, 194, 195, 196	reprf 30690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) )
198	197	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. ( 1 ... N ) )
199	29, 198	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( c ` a ) e. NN )
200	188, 189, 190, 191, 192, 199	breprexplemb 30709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
201	187, 200	fprodcl 14682	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
202	186, 201	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC )
203		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) = ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) )
204	203	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( m = N -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
205	204	sumsn 14475	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) e. CC ) -> sum_ m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
206	1, 202, 205	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. { N } sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
207	168, 183, 206	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
208	141	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x )
209	111	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) e. CC )
210	115, 209, 139	itgmulc2 23600	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) /\ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x )
211	210	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x )
212	208, 211	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) ) -> S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) )
213	212	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. S. ( 0 (,) 1 ) ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) _d x ) )
214	1, 9	reprfz1 30702	. . . 4 |- ( ph -> ( NN (repr ` S ) N ) = ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) )
215	214	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( ph -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
216	207, 213, 215	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( S x. N ) ) S. ( 0 (,) 1 ) sum_ c e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( ( m - N ) x. x ) ) ) ) _d x = sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) )
217	92, 144, 216	3eqtrrd 2661	1 |- ( ph -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( c ` a ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( L ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   expce 14792   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387  reprcrepr 30686  vtscvts 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-repr 30687  df-vts 30714

This theorem is referenced by:  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721