Theorem itgpowd 37800

Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgpowd.1	|- ( ph -> A e. RR )
itgpowd.2	|- ( ph -> B e. RR )
itgpowd.3	|- ( ph -> A <_ B )
itgpowd.4	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
itgpowd	|- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( x ^ N ) _d x = ( ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) / ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, N   ph, x

Proof of Theorem itgpowd

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgpowd.4	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0p1nn 11332	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
4	3	nncnd 11036	. 2 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. CC )
5		itgpowd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
6		itgpowd.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 12255	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
10	8, 9	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
11	10	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. CC )
12	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> N e. NN0 )
13	11, 12	expcld 13008	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x ^ N ) e. CC )
14	10	resmptd 5452	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( x ^ N ) ) )
15		expcncf 22725	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
17		rescncf 22700	. . . . . 6 |- ( ( A [,] B ) C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
18	10, 16, 17	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
19	14, 18	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20		cniccibl 23607	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( x e. ( A [,] B ) |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( x ^ N ) ) e. L^1 )
21	5, 6, 19, 20	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( x ^ N ) ) e. L^1 )
22	13, 21	itgcl 23550	. 2 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( x ^ N ) _d x e. CC )
23	3	nnne0d 11065	. 2 |- ( ph -> ( N + 1 ) =/= 0 )
24	4, 13, 21	itgmulc2 23600	. . 3 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) x. S. ( A [,] B ) ( x ^ N ) _d x ) = S. ( A [,] B ) ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) _d x )
25		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) = ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( t = x -> ( t ^ N ) = ( x ^ N ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( t = x -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ t = x ) -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) )
29		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
30	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( N + 1 ) e. CC )
31		ioossicc 12259	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
33	32	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
34	33, 13	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( x ^ N ) e. CC )
35	30, 34	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) e. CC )
36	25, 28, 29, 35	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) = ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) )
37	36	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) _d x = S. ( A (,) B ) ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) _d x )
38		itgpowd.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
39		reelprrecn 10028	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
42	41	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> t e. CC )
43		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
45	1, 44	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
47	42, 46	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
48	1	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> N e. CC )
50		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
51	49, 50	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( N + 1 ) e. CC )
52	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> N e. NN0 )
53	42, 52	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ N ) e. CC )
54	51, 53	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) e. CC )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> t e. CC )
56	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
57	55, 56	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( t ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) = ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) )
59	57, 58	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) : CC --> CC )
60		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
62	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( N + 1 ) e. CC )
63	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> N e. NN0 )
64	55, 63	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( t ^ N ) e. CC )
65	62, 64	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. CC ) -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) e. CC )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) = ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) )
67	65, 66	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
68		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
69	3, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
70		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
71	48, 70	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( t ^ ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( t ^ N ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) )
74	73	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
75	69, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
76	75	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) : CC --> CC <-> ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) : CC --> CC ) )
77	67, 76	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
78		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) : CC --> CC -> dom ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = CC )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = CC )
80	9, 79	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
81		dvres3 23677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) |` RR ) )
82	40, 59, 61, 80, 81	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) |` RR ) )
83	75	reseq1d 5395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( CC _D ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) |` RR ) = ( ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) |` RR ) )
84	82, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) ) = ( ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) |` RR ) )
85		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) = ( t e. RR |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) )
86	9, 85	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) = ( t e. RR |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` RR ) ) = ( RR _D ( t e. RR |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
88		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) |` RR ) = ( t e. RR |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
89	9, 88	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) |` RR ) = ( t e. RR |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
90	84, 87, 89	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. RR |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( t e. RR |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
91		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
92	91	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
93		iccntr 22624	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
94	5, 6, 93	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
95	40, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94	dvmptres2 23725	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) )
96		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) C_ RR
97	96, 9	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
99		cncfmptc 22714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( N + 1 ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
100	4, 98, 61, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( N + 1 ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( t e. ( A (,) B ) |-> ( t ^ N ) ) )
102	97, 101	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( t e. ( A (,) B ) |-> ( t ^ N ) ) )
103		expcncf 22725	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
104	1, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
105		rescncf 22700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
106	98, 104, 105	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
107	102, 106	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( t ^ N ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
108	100, 107	mulcncf 23215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
109	95, 108	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
110		ioombl 23333	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) e. dom vol
111	110	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
112	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> N e. CC )
113		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 1 e. CC )
114	112, 113	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( N + 1 ) e. CC )
115	10	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. CC )
116	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> N e. NN0 )
117	115, 116	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t ^ N ) e. CC )
118	114, 117	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) e. CC )
119		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ ( A [,] B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( N + 1 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
120	4, 10, 61, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( N + 1 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
121	10	resmptd 5452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ N ) ) )
122		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A [,] B ) C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
123	10, 104, 122	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ N ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
124	121, 123	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ N ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
125	120, 124	mulcncf 23215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
126		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. L^1 )
127	5, 6, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. L^1 )
128	32, 111, 118, 127	iblss 23571	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) e. L^1 )
129	95, 128	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) e. L^1 )
130	10	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) )
131		expcncf 22725	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
132	45, 131	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
133		rescncf 22700	. . . . . . . 8 |- ( ( A [,] B ) C_ CC -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
134	10, 132, 133	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. CC |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
135	130, 134	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
136	5, 6, 38, 109, 129, 135	ftc2 23807	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` A ) ) )
137	95	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) )
138	137	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) )
139		itgeq2 23544	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) -> S. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) _d x = S. ( A (,) B ) ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) _d x )
140	138, 139	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ) ` x ) _d x = S. ( A (,) B ) ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) _d x )
141		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) )
142		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = B ) -> t = B )
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t = B ) -> ( t ^ ( N + 1 ) ) = ( B ^ ( N + 1 ) ) )
144	5	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
145	6	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
146		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )
147	144, 145, 38, 146	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
148	6	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
149	148, 45	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
150	141, 143, 147, 149	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` B ) = ( B ^ ( N + 1 ) ) )
151		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = A ) -> t = A )
152	151	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t = A ) -> ( t ^ ( N + 1 ) ) = ( A ^ ( N + 1 ) ) )
153		lbicc2 12288	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
154	144, 145, 38, 153	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
155	5	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
156	155, 45	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( N + 1 ) ) e. CC )
157	141, 152, 154, 156	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` A ) = ( A ^ ( N + 1 ) ) )
158	150, 157	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` B ) - ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t ^ ( N + 1 ) ) ) ` A ) ) = ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) )
159	136, 140, 158	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( t e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + 1 ) x. ( t ^ N ) ) ) ` x ) _d x = ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) )
160	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( N + 1 ) e. CC )
161	160, 13	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) e. CC )
162	5, 6, 161	itgioo 23582	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) _d x = S. ( A [,] B ) ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) _d x )
163	37, 159, 162	3eqtr3rd 2665	. . 3 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( N + 1 ) x. ( x ^ N ) ) _d x = ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) )
164	24, 163	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) x. S. ( A [,] B ) ( x ^ N ) _d x ) = ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) )
165	4, 22, 23, 164	mvllmuld 10857	1 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( x ^ N ) _d x = ( ( ( B ^ ( N + 1 ) ) - ( A ^ ( N + 1 ) ) ) / ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  areaquad  37802