Theorem lgsqrlem1 25071

Description: Lemma for lgsqr 25076. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgsqr.s	|- S = (Poly1 ` Y )
lgsqr.b	|- B = ( Base ` S )
lgsqr.d	|- D = ( deg1 ` Y )
lgsqr.o	|- O = (eval1 ` Y )
lgsqr.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
lgsqr.x	|- X = (var1 ` Y )
lgsqr.m	|- .- = ( -g ` S )
lgsqr.u	|- .1. = ( 1r ` S )
lgsqr.t	|- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
lgsqr.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
lgsqr.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgsqrlem1.3	|- ( ph -> A e. ZZ )
lgsqrlem1.4	|- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	|- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
2	1	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( O ` T ) = ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) )
3	2	fveq1i 6192	. . 3 |- ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) )
4		lgsqr.o	. . . . 5 |- O = (eval1 ` Y )
5		lgsqr.s	. . . . 5 |- S = (Poly1 ` Y )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
7		lgsqr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
9	8	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
11	10	znfld 19909	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> Y e. Field )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Field )
13		fldidom 19305	. . . . . . 7 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. IDomn )
15		isidom 19304	. . . . . . 7 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
16	15	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( Y e. IDomn -> Y e. CRing )
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. CRing )
18		crngring 18558	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. Ring )
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Y )
21	20	zrhrhm 19860	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
23		zringbas 19824	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
24	23, 6	rhmf 18726	. . . . . . 7 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
27	25, 26	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 |- X = (var1 ` Y )
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 19701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( ( O ` X ) ` ( L ` A ) ) = ( L ` A ) ) )
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (.g ` (mulGrp ` Y ) ) = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
32		oddprm 15515	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
33	8, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
34	33	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 19709	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) )
36		zringmpg 19840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
38	36, 37	rhmmhm 18722	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
40	36, 23	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) = (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
42	40, 41, 31	mhmmulg 17583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
44		zsubrg 19799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
46	45	subrgsubm 18793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) = (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
50	48, 49, 41	submmulg 17586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
52	26	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
53		cnfldexp 19779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
54	52, 34, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
55	51, 54	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
58		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
59	9, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
60		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
61	26, 34, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
62		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
63		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
65	57, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
66	59	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN0 )
67	10, 20	zndvds 19898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN0 /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
69	65, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) )
70		zring1 19829	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
72	70, 71	rhm1 18730	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
74	56, 69, 73	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( 1r ` Y ) )
75	43, 74	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) )
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) <-> ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
77	76	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) <-> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
78	35, 77	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
79		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (algSc ` S ) = (algSc ` S )
80	6, 71	ringidcl 18568	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
81	19, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 19699	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 |- .1. = ( 1r ` S )
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 19662	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
86	85	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B <-> .1. e. B ) )
87	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = ( O ` .1. ) )
88	87	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) )
89	88	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
90	86, 89	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) <-> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
91	82, 90	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
92		lgsqr.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` S )
93		eqid 2622	. . . . 5 |- ( -g ` Y ) = ( -g ` Y )
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 19706	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
95	94	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
96	3, 95	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
97		ringgrp 18552	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
98	19, 97	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
99		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
100	6, 99, 93	grpsubid 17499	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
101	98, 81, 100	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
102	96, 101	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Fieldcfield 18748  SubRingcsubrg 18776  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073