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Theorem lighneallem2 41523
Description: Lemma 2 for lighneal 41528. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem2 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ 2 || N /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> M = 1 )
Proof of Theorem lighneallem2
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evennn2n 15075 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. k e. NN ( 2 x. k ) = N ) )
213ad2ant3 1084 . . 3 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 || N <-> E. k e. NN ( 2 x. k ) = N ) )
3 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( N = ( 2 x. k ) -> ( 2 ^ N ) = ( 2 ^ ( 2 x. k ) ) )
43eqcoms 2630 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. k ) = N -> ( 2 ^ N ) = ( 2 ^ ( 2 x. k ) ) )
5 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
6 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75, 6mulcomd 10061 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) = ( k x. 2 ) )
87oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. k ) ) = ( 2 ^ ( k x. 2 ) ) )
9 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. NN0 )
11 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
125, 10, 11expmuld 13011 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 ^ ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) )
138, 12eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 2 ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) )
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) )
154, 14sylan9eqr 2678 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) /\ ( 2 x. k ) = N ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) )
1615oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) /\ ( 2 x. k ) = N ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) )
1716eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) /\ ( 2 x. k ) = N ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) )
18 elnn1uz2 11765 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
19 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 1 -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ 1 ) )
20 2cn 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
21 exp1 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
2319, 22syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 2 ^ k ) = 2 )
2423oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) = ( 2 ^ 2 ) )
2524oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 2 ^ 2 ) - 1 ) )
26 sq2 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2726oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 ^ 2 ) - 1 ) = ( 4 - 1 )
28 4m1e3 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 - 1 ) = 3
2927, 28eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 ^ 2 ) - 1 ) = 3
3025, 29syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = 3 )
3130eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> 3 = ( P ^ M ) ) )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = 1 /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> 3 = ( P ^ M ) ) )
33 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 = ( P ^ M ) <-> ( P ^ M ) = 3 )
34 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
35 prmnn 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
36 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> P e. RR )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
38373ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> P e. RR )
39 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
40393ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. NN0 )
4138, 40reexpcld 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P ^ M ) e. RR )
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( P ^ M ) = 3 ) -> ( P ^ M ) e. RR )
43 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( P ^ M ) = 3 ) -> ( P ^ M ) = 3 )
4442, 43eqled 10140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( P ^ M ) = 3 ) -> ( P ^ M ) <_ 3 )
4544ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( P ^ M ) = 3 -> ( P ^ M ) <_ 3 ) )
4633, 45syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 3 = ( P ^ M ) -> ( P ^ M ) <_ 3 ) )
4735nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. RR )
48 prmgt1 15409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
4947, 48jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Prime -> ( P e. RR /\ 1 < P ) )
5034, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. RR /\ 1 < P ) )
51503ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P e. RR /\ 1 < P ) )
52 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
53523ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
54 3rp 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. RR+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 3 e. RR+ )
56 efexple 25006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. RR /\ 1 < P ) /\ M e. ZZ /\ 3 e. RR+ ) -> ( ( P ^ M ) <_ 3 <-> M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) ) )
5751, 53, 55, 56syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( P ^ M ) <_ 3 <-> M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) ) )
58 oddprmge3 15412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 3 ) )
59 eluzle 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ P )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 3 <_ P )
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 3 e. RR+ )
62 nnrp 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
6334, 35, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
6461, 63logled 24373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 3 <_ P <-> ( log ` 3 ) <_ ( log ` P ) ) )
6560, 64mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( log ` 3 ) <_ ( log ` P ) )
66653ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( log ` 3 ) <_ ( log ` P ) )
67 relogcl 24322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
6854, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( log ` 3 ) e. RR
69 rplogcl 24350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. RR /\ 1 < P ) -> ( log ` P ) e. RR+ )
7034, 49, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( log ` P ) e. RR+ )
71703ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( log ` P ) e. RR+ )
72 divle1le 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( log ` 3 ) e. RR /\ ( log ` P ) e. RR+ ) -> ( ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 <-> ( log ` 3 ) <_ ( log ` P ) ) )
7368, 71, 72sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 <-> ( log ` 3 ) <_ ( log ` P ) ) )
7466, 73mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 )
75 fldivle 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( log ` 3 ) e. RR /\ ( log ` P ) e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) )
7668, 71, 75sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) )
77 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> M e. RR )
78773ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
7968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( log ` 3 ) e. RR )
8062relogcld 24369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( log ` P ) e. RR )
8134, 35, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( log ` P ) e. RR )
8235nnrpd 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Prime -> P e. RR+ )
83 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. Prime -> 1 e. RR )
8483, 48gtned 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Prime -> P =/= 1 )
8582, 84jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Prime -> ( P e. RR+ /\ P =/= 1 ) )
86 logne0 24326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. RR+ /\ P =/= 1 ) -> ( log ` P ) =/= 0 )
8734, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( log ` P ) =/= 0 )
8879, 81, 87redivcld 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) e. RR )
8988flcld 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) e. ZZ )
9089zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) e. RR )
91903ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) e. RR )
92883ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) e. RR )
93 letr 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. RR /\ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) e. RR /\ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) e. RR ) -> ( ( M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) /\ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) -> M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) )
9478, 91, 92, 93syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) /\ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) -> M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) )
95 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
96 letr 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. RR /\ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) /\ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 ) -> M <_ 1 ) )
9778, 92, 95, 96syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) /\ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 ) -> M <_ 1 ) )
98 nnge1 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
99 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M = 1 <-> 1 = M )
100 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M e. NN -> 1 e. RR )
101100, 77letri3d 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. NN -> ( 1 = M <-> ( 1 <_ M /\ M <_ 1 ) ) )
10299, 101syl5rbb 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN -> ( ( 1 <_ M /\ M <_ 1 ) <-> M = 1 ) )
103102biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> ( ( 1 <_ M /\ M <_ 1 ) -> M = 1 ) )
10498, 103mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN -> ( M <_ 1 -> M = 1 ) )
1051043ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M <_ 1 -> M = 1 ) )
10697, 105syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) /\ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 ) -> M = 1 ) )
107106expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) -> ( ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 -> M = 1 ) ) )
10894, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) /\ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) -> ( ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 -> M = 1 ) ) )
10976, 108mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) -> ( ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) <_ 1 -> M = 1 ) ) )
11074, 109mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M <_ ( |_ ` ( ( log ` 3 ) / ( log ` P ) ) ) -> M = 1 ) )
11157, 110sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( P ^ M ) <_ 3 -> M = 1 ) )
11246, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 3 = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = 1 /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( 3 = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
11432, 113sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = 1 /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
115114ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
116 sq1 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
117116eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
118117oveq2i 6661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) )
119118eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( P ^ M ) )
120 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( P ^ M ) <-> ( P ^ M ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) )
1219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
122 eluzge2nn0 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
123121, 122nn0expcld 13031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN0 )
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN0 )
125 1nn0 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> 1 e. NN0 )
127 1p1e2 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 + 1 ) = 2
12822eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 = ( 2 ^ 1 )
129127, 128eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 ^ 1 )
130 eluz2gt1 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < k )
131 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR )
133 1zzd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. ZZ )
134 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. ZZ )
135 1lt2 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 < 2
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < 2 )
137132, 133, 134, 136ltexp2d 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 < k <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) ) )
138130, 137mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) )
139129, 138syl5eqbr 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
140139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
14134, 39anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN ) -> ( P e. Prime /\ M e. NN0 ) )
1421413adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P e. Prime /\ M e. NN0 ) )
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( P e. Prime /\ M e. NN0 ) )
144 difsqpwdvds 15591 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) ) /\ ( P e. Prime /\ M e. NN0 ) ) -> ( ( P ^ M ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) -> P || ( 2 x. 1 ) ) )
145124, 126, 140, 143, 144syl31anc 1329 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( P ^ M ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) -> P || ( 2 x. 1 ) ) )
146 2t1e2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. 1 ) = 2
147146breq2i 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P || ( 2 x. 1 ) <-> P || 2 )
148 prmuz2 15408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
14934, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
150 2prm 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. Prime
151 dvdsprm 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
152149, 150, 151sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
153147, 152syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 x. 1 ) <-> P = 2 ) )
154 eldifsn 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
155 eqneqall 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P = 2 -> ( P =/= 2 -> M = 1 ) )
156155com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P =/= 2 -> ( P = 2 -> M = 1 ) )
157154, 156simplbiim 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P = 2 -> M = 1 ) )
158153, 157sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 x. 1 ) -> M = 1 ) )
1591583ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( P || ( 2 x. 1 ) -> M = 1 ) )
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( P || ( 2 x. 1 ) -> M = 1 ) )
161145, 160syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( P ^ M ) = ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) -> M = 1 ) )
162120, 161syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
163119, 162syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
164163ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
165115, 164jaoi 394 . . . . . . . . 9 |- ( ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
16618, 165sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
167166impcom 446 . . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
168167adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) /\ ( 2 x. k ) = N ) -> ( ( ( ( 2 ^ k ) ^ 2 ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
16917, 168sylbid 230 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) /\ ( 2 x. k ) = N ) -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) )
170169ex 450 . . . 4 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) = N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
171170rexlimdva 3031 . . 3 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. k e. NN ( 2 x. k ) = N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
1722, 171sylbid 230 . 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 || N -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) -> M = 1 ) ) )
1731723imp 1256 1 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ 2 || N /\ ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( P ^ M ) ) -> M = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   logclog 24301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303
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