Theorem ostth2 25326

Description: - Lemma for ostth 25328: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2	|- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y, ph   J, a, y   A, a, q, x, y   x, N, y   x, Q, y   F, a, q, y   R, a, q, y   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q, a)   R( x)   J( x, q)   K( x, y, q, a)   N( q, a)

Proof of Theorem ostth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.4	. . . . 5 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
2		ostth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. A )
3		ostth2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	5	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
7		nnq 11801	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. QQ )
9		qabsabv.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AbsVal ` Q )
10		qrng.q	. . . . . . . . . 10 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
11	10	qrngbas 25308	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
12	9, 11	abvcl 18824	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
13	2, 8, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
14		ostth2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
15	13, 14	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR+ )
16	6	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
17	5	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < N )
18	16, 17	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
19	15, 18	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) e. RR+ )
20	1, 19	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
22	20	rpgt0d 11875	. . 3 |- ( ph -> 0 < R )
23	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	10, 9	qabvle 25314	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )
25	2, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ N )
26	6	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N =/= 0 )
27	10	qrng0 25310	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` Q )
28	9, 11, 27	abvgt0 18828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> 0 < ( F ` N ) )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
30	13, 29	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
31	30	reeflogd 24370	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
32	6	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR+ )
33	32	reeflogd 24370	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
34	25, 31, 33	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) )
35	15	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
36	32	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
37		efle 14848	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
39	34, 38	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
40	18	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
41	40	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. 1 ) = ( log ` N ) )
42	39, 41	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) )
43		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
44	35, 43, 18	ledivmuld 11925	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. 1 ) ) )
45	42, 44	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ 1 )
46	1, 45	syl5eqbr 4688	. . 3 |- ( ph -> R <_ 1 )
47		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
48		1re 10039	. . . 4 |- 1 e. RR
49		elioc2 12236	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 708	. . 3 |- ( R e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ 1 ) )
51	21, 22, 46, 50	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ph -> R e. ( 0 (,] 1 ) )
52	10, 9	qabsabv 25318	. . . 4 |- ( abs |` QQ ) e. A
53		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
55	54	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
56	55	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c R ) )
57	9, 11, 56	abvcxp 25304	. . . 4 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ R e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
58	52, 51, 57	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) e. A )
59		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
60		zq 11794	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
61		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` y ) = ( abs ` z ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` y ) ^c R ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
63		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) )
64		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` z ) ^c R ) e. _V
65	62, 63, 64	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( z e. QQ -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
66	59, 60, 65	3syl 18	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
67	66	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) = ( ( abs ` z ) ^c R ) )
68		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
69		eluz2b2 11761	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
70	68, 69	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z e. NN /\ 1 < z ) )
71	70	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN )
72	71	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR )
73	71	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. NN0 )
74	73	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ z )
75	72, 74	absidd 14161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` z ) = z )
76	75	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) ^c R ) = ( z ^c R ) )
77	72	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. CC )
78	71	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z =/= 0 )
79	20	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
80	79	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. CC )
81	77, 78, 80	cxpefd 24458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) )
82		padic.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
83		ostth.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
84	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> F e. A )
85	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` N ) )
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) ) = if ( ( F ` z ) <_ 1 , 1 , ( F ` z ) )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` N ) / ( log ` z ) ) = ( ( log ` N ) / ( log ` z ) )
90	10, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89	ostth2lem4 25325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` z ) /\ R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) ) )
91	90	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
92	90	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( F ` z ) )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) ) = if ( ( F ` N ) <_ 1 , 1 , ( F ` N ) )
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` z ) / ( log ` N ) ) = ( ( log ` z ) / ( log ` N ) )
95	10, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94	ostth2lem4 25325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < ( F ` N ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) )
96	95	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R )
97	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R e. RR )
98	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
99	98, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. QQ )
100	9, 11	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ ) -> ( F ` z ) e. RR )
101	84, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
102	9, 11, 27	abvgt0 18828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ z e. QQ /\ z =/= 0 ) -> 0 < ( F ` z ) )
103	84, 99, 78, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( F ` z ) )
104	101, 103	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) e. RR+ )
105	104	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. RR )
106	71	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. RR+ )
107	106	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. RR )
108		ef0 14821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( exp ` 0 ) = 1
109	70	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < z )
110	106	reeflogd 24370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` z ) ) = z )
111	109, 110	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < ( exp ` ( log ` z ) ) )
112	108, 111	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) )
113		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
114		eflt 14847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( log ` z ) e. RR ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
115	113, 107, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 0 < ( log ` z ) <-> ( exp ` 0 ) < ( exp ` ( log ` z ) ) ) )
116	112, 115	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( log ` z ) )
117	116	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) =/= 0 )
118	105, 107, 117	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) e. RR )
119	97, 118	letri3d 10179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <-> ( R <_ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) /\ ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) <_ R ) ) )
120	91, 96, 119	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> R = ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) )
122	105	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` ( F ` z ) ) e. CC )
123	107	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( log ` z ) e. CC )
124	122, 123, 117	divcan1d 10802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( log ` ( F ` z ) ) / ( log ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R x. ( log ` z ) ) = ( log ` ( F ` z ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( R x. ( log ` z ) ) ) = ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) )
127	104	reeflogd 24370	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( F ` z ) ) ) = ( F ` z ) )
128	81, 126, 127	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z ^c R ) = ( F ` z ) )
129	67, 76, 128	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( F ` z ) = ( ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ` z ) )
130	10, 9, 2, 58, 129	ostthlem1 25316	. 2 |- ( ph -> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
131		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = R -> ( ( abs ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c R ) )
132	131	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( a = R -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) )
133	132	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( a = R -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) )
134	133	rspcev 3309	. 2 |- ( ( R e. ( 0 (,] 1 ) /\ F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c R ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )
135	51, 130, 134	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   abscabs 13974   expce 14792   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ostth  25328