Theorem ostth2lem3 25324

Description: Lemma for ostth2 25326. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
ostth2.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.6	|- S = ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) )
ostth2.7	|- T = if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) )
ostth2.8	|- U = ( ( log ` N ) / ( log ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem3	|- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) ^ X ) <_ ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, q, ph   x, T   x, U   x, X   A, q, x   x, N   x, Q   F, q   R, q   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q)   R( x)   S( x, q)   T( q)   U( q)   J( x, q)   K( x, q)   M( q)   N( q)   X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth.1	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. A )
2		ostth2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		eluz2b2 11761	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
5	4	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
6		nnq 11801	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. QQ )
8		qabsabv.a	. . . . . . 7 |- A = (AbsVal ` Q )
9		qrng.q	. . . . . . . 8 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
10	9	qrngbas 25308	. . . . . . 7 |- QQ = ( Base ` Q )
11	8, 10	abvcl 18824	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
12	1, 7, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
15		ostth2.7	. . . . . . 7 |- T = if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) )
16		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
17		ostth2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
18		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( M e. NN /\ 1 < M ) )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. NN /\ 1 < M ) )
20	19	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
21		nnq 11801	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. QQ )
23	8, 10	abvcl 18824	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ M e. QQ ) -> ( F ` M ) e. RR )
24	1, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
25		ifcl 4130	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( F ` M ) e. RR ) -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) e. RR )
26	16, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) e. RR )
27	15, 26	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> T e. RR )
29		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
30		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
31		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < 1 )
33		max2 12018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> 1 <_ if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) )
34	24, 30, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) )
35	34, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ T )
36	29, 30, 27, 32, 35	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < T )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < T )
38	28, 37	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> T e. RR+ )
39	38	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 <_ T )
40		ostth2.8	. . . . . . . 8 |- U = ( ( log ` N ) / ( log ` M ) )
41	5	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
42	4	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < N )
43	41, 42	rplogcld 24375	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
44	20	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
45	19	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < M )
46	44, 45	rplogcld 24375	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` M ) e. RR+ )
47	43, 46	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) e. RR+ )
48	40, 47	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR+ )
49	48	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> U e. RR )
51	28, 39, 50	recxpcld 24469	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c U ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c U ) e. CC )
53	38, 50	rpcxpcld 24476	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c U ) e. RR+ )
54	53	rpne0d 11877	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c U ) =/= 0 )
55		nnnn0 11299	. . . 4 |- ( X e. NN -> X e. NN0 )
56	55	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> X e. NN0 )
57	14, 52, 54, 56	expdivd 13022	. 2 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) ^ X ) = ( ( ( F ` N ) ^ X ) / ( ( T ^c U ) ^ X ) ) )
58		reexpcl 12877	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` N ) e. RR /\ X e. NN0 ) -> ( ( F ` N ) ^ X ) e. RR )
59	12, 55, 58	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ X ) e. RR )
60	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> M e. NN )
61	60	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> M e. RR )
62		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. NN -> X e. RR )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> X e. RR )
64	63, 50	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. U ) e. RR )
65	56	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 <_ X )
66	48	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ U )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 <_ U )
68	63, 50, 65, 67	mulge0d 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 <_ ( X x. U ) )
69		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X x. U ) e. RR /\ 0 <_ ( X x. U ) ) -> ( |_ ` ( X x. U ) ) e. NN0 )
70	64, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( |_ ` ( X x. U ) ) e. NN0 )
71		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` ( X x. U ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. NN0 )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. NN0 )
73	72	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. RR )
74	61, 73	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. RR )
75	28, 72	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
77		peano2re 10209	. . . . . . . . 9 |- ( U e. RR -> ( U + 1 ) e. RR )
78	50, 77	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( U + 1 ) e. RR )
79	63, 78	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( U + 1 ) ) e. RR )
80	61, 79	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) e. RR )
81	51, 56	reexpcld 13025	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^c U ) ^ X ) e. RR )
82	81, 28	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) e. RR )
83	80, 82	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) e. RR )
84	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> F e. A )
85	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> N e. QQ )
86	9, 8	qabvexp 25315	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ /\ X e. NN0 ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) = ( ( F ` N ) ^ X ) )
87	84, 85, 56, 86	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) = ( ( F ` N ) ^ X ) )
88	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> X e. CC )
89	43	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` N ) e. CC )
92	46	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( log ` M ) e. RR )
93	92	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( log ` M ) e. CC )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` M ) e. CC )
95	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` M ) e. RR+ )
96	95	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` M ) =/= 0 )
97	88, 91, 94, 96	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. ( log ` N ) ) / ( log ` M ) ) = ( X x. ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) ) )
98	40	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X x. U ) = ( X x. ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) )
99	97, 98	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. ( log ` N ) ) / ( log ` M ) ) = ( X x. U ) )
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( X x. ( log ` N ) ) / ( log ` M ) ) x. ( log ` M ) ) = ( ( X x. U ) x. ( log ` M ) ) )
101	88, 91	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( log ` N ) ) e. CC )
102	101, 94, 96	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( X x. ( log ` N ) ) / ( log ` M ) ) x. ( log ` M ) ) = ( X x. ( log ` N ) ) )
103	100, 102	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) x. ( log ` M ) ) = ( X x. ( log ` N ) ) )
104		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X x. U ) e. RR -> ( X x. U ) < ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) )
105	64, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. U ) < ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) )
106	64, 73, 95, 105	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) x. ( log ` M ) ) < ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) )
107	103, 106	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( log ` N ) ) < ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) )
108	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` N ) e. RR )
109	63, 108	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( log ` N ) ) e. RR )
110	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( log ` M ) e. RR )
111	73, 110	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) e. RR )
112		eflt 14847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X x. ( log ` N ) ) e. RR /\ ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) e. RR ) -> ( ( X x. ( log ` N ) ) < ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) <-> ( exp ` ( X x. ( log ` N ) ) ) < ( exp ` ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) ) ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. ( log ` N ) ) < ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) <-> ( exp ` ( X x. ( log ` N ) ) ) < ( exp ` ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) ) ) )
114	107, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( exp ` ( X x. ( log ` N ) ) ) < ( exp ` ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) ) )
115	5	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR+ )
116		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN -> X e. ZZ )
117		reexplog 24341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR+ /\ X e. ZZ ) -> ( N ^ X ) = ( exp ` ( X x. ( log ` N ) ) ) )
118	115, 116, 117	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) = ( exp ` ( X x. ( log ` N ) ) ) )
119	60	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> M e. RR+ )
120	72	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. ZZ )
121		reexplog 24341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR+ /\ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) = ( exp ` ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) ) )
122	119, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) = ( exp ` ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) x. ( log ` M ) ) ) )
123	114, 118, 122	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) < ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) )
124		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ X e. NN0 ) -> ( N ^ X ) e. NN )
125	5, 55, 124	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) e. NN )
126	60, 72	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. NN )
127		nnltlem1 11444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ^ X ) e. NN /\ ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( N ^ X ) < ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <-> ( N ^ X ) <_ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
128	125, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( N ^ X ) < ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <-> ( N ^ X ) <_ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
129	123, 128	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) <_ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) )
130	125	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) e. NN0 )
131		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
132	130, 131	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
133	126	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. ZZ )
134		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. ZZ -> ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
136		elfz5 12334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ^ X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( N ^ X ) <_ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
137	132, 135, 136	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( N ^ X ) <_ ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
138	129, 137	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
139		padic.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
140		ostth.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
141		ostth2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
142		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
143		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 |- S = ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) )
144	9, 8, 139, 140, 1, 2, 141, 142, 17, 143, 15	ostth2lem2 25323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) <_ ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) )
145	144	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) <_ ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) ) )
146	72, 145	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( N ^ X ) e. ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) <_ ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) ) )
147	138, 146	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( F ` ( N ^ X ) ) <_ ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) )
148	87, 147	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ X ) <_ ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) )
149	80, 75	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
150		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X x. U ) e. RR -> ( ( X x. U ) + 1 ) e. RR )
151	64, 150	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) + 1 ) e. RR )
152	70	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( |_ ` ( X x. U ) ) e. RR )
153		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 1 e. RR )
154		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X x. U ) e. RR -> ( |_ ` ( X x. U ) ) <_ ( X x. U ) )
155	64, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( |_ ` ( X x. U ) ) <_ ( X x. U ) )
156	152, 64, 153, 155	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) <_ ( ( X x. U ) + 1 ) )
157		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. NN -> 1 <_ X )
158	157	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 1 <_ X )
159	153, 63, 64, 158	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) + 1 ) <_ ( ( X x. U ) + X ) )
160	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> U e. CC )
161	153	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 1 e. CC )
162	88, 160, 161	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( U + 1 ) ) = ( ( X x. U ) + ( X x. 1 ) ) )
163	88	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. 1 ) = X )
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) + ( X x. 1 ) ) = ( ( X x. U ) + X ) )
165	162, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( U + 1 ) ) = ( ( X x. U ) + X ) )
166	159, 165	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( X x. U ) + 1 ) <_ ( X x. ( U + 1 ) ) )
167	73, 151, 79, 156, 166	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) <_ ( X x. ( U + 1 ) ) )
168	60	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < M )
169		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. RR /\ ( X x. ( U + 1 ) ) e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) <_ ( X x. ( U + 1 ) ) <-> ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) ) )
170	73, 79, 61, 168, 169	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) <_ ( X x. ( U + 1 ) ) <-> ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) ) )
171	167, 170	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) )
172		expgt0 12893	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. RR /\ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 < T ) -> 0 < ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) )
173	28, 120, 37, 172	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) )
174		lemul1 10875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. RR /\ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) <-> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) ) )
175	74, 80, 75, 173, 174	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) <-> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) ) )
176	171, 175	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) )
177	28	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> T e. CC )
178	177, 70	expp1d 13009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) = ( ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) x. T ) )
179	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 1 <_ T )
180		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. RR /\ X e. RR ) -> ( U x. X ) e. RR )
181	49, 62, 180	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( U x. X ) e. RR )
182	88, 160	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. U ) = ( U x. X ) )
183	155, 182	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( |_ ` ( X x. U ) ) <_ ( U x. X ) )
184	28, 179, 152, 181, 183	cxplead 24467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c ( |_ ` ( X x. U ) ) ) <_ ( T ^c ( U x. X ) ) )
185		cxpexp 24414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. CC /\ ( |_ ` ( X x. U ) ) e. NN0 ) -> ( T ^c ( |_ ` ( X x. U ) ) ) = ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) )
186	177, 70, 185	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c ( |_ ` ( X x. U ) ) ) = ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) )
187	38, 50, 88	cxpmuld 24480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c ( U x. X ) ) = ( ( T ^c U ) ^c X ) )
188		cxpexp 24414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T ^c U ) e. CC /\ X e. NN0 ) -> ( ( T ^c U ) ^c X ) = ( ( T ^c U ) ^ X ) )
189	52, 56, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^c U ) ^c X ) = ( ( T ^c U ) ^ X ) )
190	187, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^c ( U x. X ) ) = ( ( T ^c U ) ^ X ) )
191	184, 186, 190	3brtr3d 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) <_ ( ( T ^c U ) ^ X ) )
192	28, 70	reexpcld 13025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) e. RR )
193	192, 81, 38	lemul1d 11915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) <_ ( ( T ^c U ) ^ X ) <-> ( ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) x. T ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) )
194	191, 193	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^ ( |_ ` ( X x. U ) ) ) x. T ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) )
195	178, 194	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) )
196		nngt0 11049	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. NN -> 0 < X )
197	196	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < X )
198		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 e. RR )
199	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> U e. RR+ )
200	199	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < U )
201	50	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> U < ( U + 1 ) )
202	198, 50, 78, 200, 201	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < ( U + 1 ) )
203	63, 78, 197, 202	mulgt0d 10192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < ( X x. ( U + 1 ) ) )
204	61, 79, 168, 203	mulgt0d 10192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> 0 < ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) )
205		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) e. RR /\ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) e. RR /\ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 < ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) <-> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) ) )
206	75, 82, 80, 204, 205	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) <-> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) ) )
207	195, 206	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) )
208	76, 149, 83, 176, 207	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( |_ ` ( X x. U ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) )
209	59, 76, 83, 148, 208	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ X ) <_ ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) )
210	80	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) e. CC )
211	81	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^c U ) ^ X ) e. CC )
212	210, 211, 177	mul12d 10245	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) = ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. T ) ) )
213	61	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> M e. CC )
214	79	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( U + 1 ) ) e. CC )
215	213, 214, 177	mul32d 10246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. T ) = ( ( M x. T ) x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) )
216	213, 177	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. T ) e. CC )
217	78	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( U + 1 ) e. CC )
218	216, 88, 217	mul12d 10245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. T ) x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) = ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )
219	215, 218	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. T ) = ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )
220	219	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. T ) ) = ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) ) )
221	212, 220	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. ( X x. ( U + 1 ) ) ) x. ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. T ) ) = ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) ) )
222	209, 221	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ X ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) ) )
223	61, 28	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( M x. T ) e. RR )
224	223, 78	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) e. RR )
225	63, 224	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) e. RR )
226	116	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> X e. ZZ )
227	53, 226	rpexpcld 13032	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( T ^c U ) ^ X ) e. RR+ )
228	59, 225, 227	ledivmuld 11925	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ X ) / ( ( T ^c U ) ^ X ) ) <_ ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` N ) ^ X ) <_ ( ( ( T ^c U ) ^ X ) x. ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) ) ) )
229	222, 228	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ X ) / ( ( T ^c U ) ^ X ) ) <_ ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )
230	57, 229	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( ph /\ X e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) ^ X ) <_ ( X x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   expce 14792   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ostth2lem4  25325