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Theorem sinccvglem 31566
Description: ( ( sin ` x ) / x ) ~~> 1 as (real) x ~~> 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1 |- ( ph -> F : NN --> ( RR \ { 0 } ) )
sinccvg.2 |- ( ph -> F ~~> 0 )
sinccvg.3 |- G = ( x e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` x ) / x ) )
sinccvg.4 |- H = ( x e. CC |-> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) )
sinccvg.5 |- ( ph -> M e. NN )
sinccvg.6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < 1 )
Assertion
Ref Expression
sinccvglem |- ( ph -> ( G o. F ) ~~> 1 )
Distinct variable groups:   x, k, F   k, H   k, M   ph, k   k, G
Allowed substitution hints:   ph( x)   G( x)   H( x)   M( x)
Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2 sinccvg.5 . . 3 |- ( ph -> M e. NN )
32nnzd 11481 . 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
4 sinccvg.2 . . . 4 |- ( ph -> F ~~> 0 )
5 sinccvg.4 . . . . . 6 |- H = ( x e. CC |-> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) )
65funmpt2 5927 . . . . 5 |- Fun H
7 sinccvg.1 . . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> ( RR \ { 0 } ) )
8 nnex 11026 . . . . . 6 |- NN e. _V
9 fex 6490 . . . . . 6 |- ( ( F : NN --> ( RR \ { 0 } ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
107, 8, 9sylancl 694 . . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
11 cofunexg 7130 . . . . 5 |- ( ( Fun H /\ F e. _V ) -> ( H o. F ) e. _V )
126, 10, 11sylancr 695 . . . 4 |- ( ph -> ( H o. F ) e. _V )
137adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F : NN --> ( RR \ { 0 } ) )
14 eluznn 11758 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
152, 14sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
1613, 15ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. ( RR \ { 0 } ) )
17 eldifsn 4317 . . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) =/= 0 ) )
1816, 17sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) =/= 0 ) )
1918simpld 475 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
2019recnd 10068 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
21 ax-1cn 9994 . . . . . 6 |- 1 e. CC
22 sqcl 12925 . . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( x ^ 2 ) e. CC )
23 3cn 11095 . . . . . . . 8 |- 3 e. CC
24 3ne0 11115 . . . . . . . 8 |- 3 =/= 0
25 divcl 10691 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
2623, 24, 25mp3an23 1416 . . . . . . 7 |- ( ( x ^ 2 ) e. CC -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
2722, 26syl 17 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
28 subcl 10280 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( x ^ 2 ) / 3 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
2921, 27, 28sylancr 695 . . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) e. CC )
305, 29fmpti 6383 . . . 4 |- H : CC --> CC
31 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3231cnfldtopon 22586 . . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
3332a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( T. -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
34 1cnd 10056 . . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. CC )
3533, 33, 34cnmptc 21465 . . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> 1 ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
3631sqcn 22677 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( x ^ 2 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
3831divccn 22676 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( y e. CC |-> ( y / 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
3923, 24, 38mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. CC |-> ( y / 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( y e. CC |-> ( y / 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
41 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( x ^ 2 ) -> ( y / 3 ) = ( ( x ^ 2 ) / 3 ) )
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 21466 . . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
4331subcn 22669 . . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4443a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( T. -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 21469 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
4645trud 1493 . . . . . 6 |- ( x e. CC |-> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4731cncfcn1 22713 . . . . . 6 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4846, 5, 473eltr4i 2714 . . . . 5 |- H e. ( CC -cn-> CC )
49 cncfi 22697 . . . . 5 |- ( ( H e. ( CC -cn-> CC ) /\ 0 e. CC /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - 0 ) ) < z -> ( abs ` ( ( H ` w ) - ( H ` 0 ) ) ) < y ) )
5048, 49mp3an1 1411 . . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - 0 ) ) < z -> ( abs ` ( ( H ` w ) - ( H ` 0 ) ) ) < y ) )
51 fvco3 6275 . . . . . 6 |- ( ( F : NN --> ( RR \ { 0 } ) /\ k e. NN ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
527, 51sylan 488 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
5315, 52syldan 487 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( H ` ( F ` k ) ) )
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 14333 . . 3 |- ( ph -> ( H o. F ) ~~> ( H ` 0 ) )
55 0cn 10032 . . . 4 |- 0 e. CC
56 sq0i 12956 . . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = 0 )
5756oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) = ( 0 / 3 ) )
5823, 24div0i 10759 . . . . . . . 8 |- ( 0 / 3 ) = 0
5957, 58syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) = 0 )
6059oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 1 - 0 ) )
61 1m0e1 11131 . . . . . 6 |- ( 1 - 0 ) = 1
6260, 61syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) = 1 )
63 1ex 10035 . . . . 5 |- 1 e. _V
6462, 5, 63fvmpt 6282 . . . 4 |- ( 0 e. CC -> ( H ` 0 ) = 1 )
6555, 64ax-mp 5 . . 3 |- ( H ` 0 ) = 1
6654, 65syl6breq 4694 . 2 |- ( ph -> ( H o. F ) ~~> 1 )
67 sinccvg.3 . . . 4 |- G = ( x e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` x ) / x ) )
6867funmpt2 5927 . . 3 |- Fun G
69 cofunexg 7130 . . 3 |- ( ( Fun G /\ F e. _V ) -> ( G o. F ) e. _V )
7068, 10, 69sylancr 695 . 2 |- ( ph -> ( G o. F ) e. _V )
71 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
7271oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x ^ 2 ) / 3 ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) )
7372oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( 1 - ( ( x ^ 2 ) / 3 ) ) = ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
74 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. _V
7573, 5, 74fvmpt 6282 . . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( H ` ( F ` k ) ) = ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
7620, 75syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` k ) ) = ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
7753, 76eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H o. F ) ` k ) = ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) )
78 1re 10039 . . . 4 |- 1 e. RR
7919resqcld 13035 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
80 3nn 11186 . . . . 5 |- 3 e. NN
81 nndivre 11056 . . . . 5 |- ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
8279, 80, 81sylancl 694 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR )
83 resubcl 10345 . . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) e. RR ) -> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
8478, 82, 83sylancr 695 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) e. RR )
8577, 84eqeltrd 2701 . 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H o. F ) ` k ) e. RR )
86 fvco3 6275 . . . . . 6 |- ( ( F : NN --> ( RR \ { 0 } ) /\ k e. NN ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
877, 86sylan 488 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
8815, 87syldan 487 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
89 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( F ` k ) ) )
90 id 22 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> x = ( F ` k ) )
9189, 90oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( sin ` x ) / x ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
92 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) e. _V
9391, 67, 92fvmpt 6282 . . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. ( RR \ { 0 } ) -> ( G ` ( F ` k ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
9416, 93syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( F ` k ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
9588, 94eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
9619resincld 14873 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` ( F ` k ) ) e. RR )
9718simprd 479 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) =/= 0 )
9896, 19, 97redivcld 10853 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) e. RR )
9995, 98eqeltrd 2701 . 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G o. F ) ` k ) e. RR )
100 1cnd 10056 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. CC )
10182recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) e. CC )
10220abscld 14175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
103102recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
104100, 101, 103subdird 10487 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( 1 x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) - ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) ) )
105103mulid2d 10058 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
106 df-3 11080 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 2 + 1 )
107106oveq2i 6661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ ( 2 + 1 ) )
108 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
109 expp1 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
110103, 108, 109sylancl 694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
111 absresq 14042 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
113112oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
114110, 113eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
115107, 114syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116115oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) = ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) / 3 ) )
11779recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. CC )
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 3 e. CC )
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 3 =/= 0 )
120117, 103, 118, 119div23d 10838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) / 3 ) = ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
121116, 120eqtr2d 2657 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) )
122105, 121oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) - ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
123104, 122eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) ) )
12420, 97absrpcld 14187 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR+ )
125124rpgt0d 11875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) )
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < 1 )
127 ltle 10126 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ 1 ) )
128102, 78, 127sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ 1 ) )
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ 1 )
130 0xr 10086 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
131 elioc2 12236 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ 1 ) ) )
132130, 78, 131mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( F ` k ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ 1 ) )
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1246 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. ( 0 (,] 1 ) )
134 sin01bnd 14915 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
136135simpld 475 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
137123, 136eqbrtrd 4675 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
138102resincld 14873 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
13984, 138, 124ltmuldivd 11919 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) <-> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) ) )
140137, 139mpbid 222 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
141 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) -> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( sin ` ( F ` k ) ) )
142 id 22 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
143141, 142oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
144143a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) ) )
145 sinneg 14876 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( sin ` -u ( F ` k ) ) = -u ( sin ` ( F ` k ) ) )
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` -u ( F ` k ) ) = -u ( sin ` ( F ` k ) ) )
147146oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` -u ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) = ( -u ( sin ` ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) )
14896recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` ( F ` k ) ) e. CC )
149148, 20, 97div2negd 10816 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -u ( sin ` ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
150147, 149eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` -u ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
151 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) -> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( sin ` -u ( F ` k ) ) )
152 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) )
153151, 152oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` -u ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) )
154153eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) -> ( ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) <-> ( ( sin ` -u ( F ` k ) ) / -u ( F ` k ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) ) )
155150, 154syl5ibrcom 237 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) ) )
15619absord 14154 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) = ( F ` k ) \/ ( abs ` ( F ` k ) ) = -u ( F ` k ) ) )
157144, 155, 156mpjaod 396 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
158140, 157breqtrd 4679 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) < ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
15984, 98, 158ltled 10185 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 - ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) / 3 ) ) <_ ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) )
160159, 77, 953brtr4d 4685 . 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H o. F ) ` k ) <_ ( ( G o. F ) ` k ) )
16178a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
162135simprd 479 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( abs ` ( F ` k ) ) )
163103mulid1d 10057 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
164162, 163breqtrrd 4681 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. 1 ) )
165138, 161, 124ltdivmuld 11923 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) < 1 <-> ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. 1 ) ) )
166164, 165mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` ( abs ` ( F ` k ) ) ) / ( abs ` ( F ` k ) ) ) < 1 )
167157, 166eqbrtrrd 4677 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) < 1 )
16898, 161, 167ltled 10185 . . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( sin ` ( F ` k ) ) / ( F ` k ) ) <_ 1 )
16995, 168eqbrtrd 4675 . 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G o. F ) ` k ) <_ 1 )
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 14371 1 |- ( ph -> ( G o. F ) ~~> 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sincsin 14794   TopOpenctopn 16082  ℂfldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681
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