Theorem tanord 24284

Description: The tangent function is strictly increasing on its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanord	|- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )

Proof of Theorem tanord

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1487	. 2 |- T.
2		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = y -> ( tan ` x ) = ( tan ` y ) )
3		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = A -> ( tan ` x ) = ( tan ` A ) )
4		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = B -> ( tan ` x ) = ( tan ` B ) )
5		ioossre 12235	. . 3 |- ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) C_ RR
6		elioore 12205	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> x e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> x e. CC )
8	6	rered 13964	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` x ) = x )
9		id 22	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
10	8, 9	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` x ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
11		cosne0 24276	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Re ` x ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` x ) =/= 0 )
12	7, 10, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` x ) =/= 0 )
13	6, 12	retancld 14875	. . . 4 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` x ) e. RR )
14	13	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( tan ` x ) e. RR )
15	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> x e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> x e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> x e. CC )
18	17	negnegd 10383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> -u -u x = x )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( tan ` -u -u x ) = ( tan ` x ) )
20	17	negcld 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> -u x e. CC )
21		cosneg 14877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( cos ` -u x ) = ( cos ` x ) )
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( cos ` -u x ) = ( cos ` x ) )
23		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
24	23, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( cos ` x ) =/= 0 )
25	22, 24	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( cos ` -u x ) =/= 0 )
26		tanneg 14878	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u x e. CC /\ ( cos ` -u x ) =/= 0 ) -> ( tan ` -u -u x ) = -u ( tan ` -u x ) )
27	20, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( tan ` -u -u x ) = -u ( tan ` -u x ) )
28	19, 27	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( tan ` x ) = -u ( tan ` -u x ) )
29	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> x e. RR )
30	29	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u x e. RR )
31	25	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( cos ` -u x ) =/= 0 )
32	30, 31	retancld 14875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( tan ` -u x ) e. RR )
33	32	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u ( tan ` -u x ) e. RR )
34		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> 0 e. RR )
35		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
36	5, 35	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> y e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> y e. RR )
38		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
39		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> y e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> y e. CC )
41	39	rered 13964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` y ) = y )
42		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
43	41, 42	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( Re ` y ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
44		cosne0 24276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ ( Re ` y ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
45	40, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
47	37, 46	retancld 14875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( tan ` y ) e. RR )
48		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> x < 0 )
49	29	lt0neg1d 10597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( x < 0 <-> 0 < -u x ) )
50	48, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> 0 < -u x )
51		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
52		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
54	53	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u ( pi / 2 ) < x )
55		halfpire 24216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi / 2 ) e. RR
56		ltnegcon1 10529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x <-> -u x < ( pi / 2 ) ) )
57	55, 29, 56	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x <-> -u x < ( pi / 2 ) ) )
58	54, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u x < ( pi / 2 ) )
59		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
60	55	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi / 2 ) e. RR*
61		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( -u x e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u x e. RR /\ 0 < -u x /\ -u x < ( pi / 2 ) ) ) )
62	59, 60, 61	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u x e. RR /\ 0 < -u x /\ -u x < ( pi / 2 ) ) )
63	30, 50, 58, 62	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u x e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
64		tanrpcl 24256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u x e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` -u x ) e. RR+ )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( tan ` -u x ) e. RR+ )
66	65	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> 0 < ( tan ` -u x ) )
67	32	lt0neg2d 10598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( 0 < ( tan ` -u x ) <-> -u ( tan ` -u x ) < 0 ) )
68	66, 67	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u ( tan ` -u x ) < 0 )
69		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> 0 < y )
70		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
71	38, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
72	71	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> y < ( pi / 2 ) )
73		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 < y /\ y < ( pi / 2 ) ) ) )
74	59, 60, 73	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
75	37, 69, 72, 74	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
76		tanrpcl 24256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` y ) e. RR+ )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> ( tan ` y ) e. RR+ )
78	77	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> 0 < ( tan ` y ) )
79	33, 34, 47, 68, 78	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ ( x < 0 /\ 0 < y ) ) -> -u ( tan ` -u x ) < ( tan ` y ) )
80	79	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) /\ 0 < y ) -> -u ( tan ` -u x ) < ( tan ` y ) )
81		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> x < y )
82	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> x e. RR )
83	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> y e. RR )
84	82, 83	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( x < y <-> -u y < -u x ) )
85	81, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u y < -u x )
86	83	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u y e. RR )
87		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> y <_ 0 )
88	83	le0neg1d 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( y <_ 0 <-> 0 <_ -u y ) )
89	87, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> 0 <_ -u y )
90		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
91	90, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
92	91	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u ( pi / 2 ) < y )
93		ltnegcon1 10529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y <-> -u y < ( pi / 2 ) ) )
94	55, 83, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y <-> -u y < ( pi / 2 ) ) )
95	92, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u y < ( pi / 2 ) )
96		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
97		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( -u y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u y e. RR /\ 0 <_ -u y /\ -u y < ( pi / 2 ) ) ) )
98	96, 60, 97	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u y e. RR /\ 0 <_ -u y /\ -u y < ( pi / 2 ) ) )
99	86, 89, 95, 98	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
100	82	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u x e. RR )
101		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> x < y )
102		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> 0 e. RR )
103		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( x < y /\ y <_ 0 ) -> x < 0 ) )
104	15, 36, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( ( x < y /\ y <_ 0 ) -> x < 0 ) )
105	101, 104	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( y <_ 0 -> x < 0 ) )
106	105	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> x < 0 )
107		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( x < 0 -> x <_ 0 ) )
108	82, 96, 107	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( x < 0 -> x <_ 0 ) )
109	106, 108	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> x <_ 0 )
110	82	le0neg1d 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( x <_ 0 <-> 0 <_ -u x ) )
111	109, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> 0 <_ -u x )
112		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
113	112, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
114	113	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u ( pi / 2 ) < x )
115	55, 82, 56	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x <-> -u x < ( pi / 2 ) ) )
116	114, 115	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u x < ( pi / 2 ) )
117		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( -u x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u x e. RR /\ 0 <_ -u x /\ -u x < ( pi / 2 ) ) ) )
118	96, 60, 117	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( -u x e. RR /\ 0 <_ -u x /\ -u x < ( pi / 2 ) ) )
119	100, 111, 116, 118	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
120		tanord1 24283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ -u x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( -u y < -u x <-> ( tan ` -u y ) < ( tan ` -u x ) ) )
121	99, 119, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( -u y < -u x <-> ( tan ` -u y ) < ( tan ` -u x ) ) )
122	85, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` -u y ) < ( tan ` -u x ) )
123	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> y e. CC )
124		cosneg 14877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. CC -> ( cos ` -u y ) = ( cos ` y ) )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( cos ` -u y ) = ( cos ` y ) )
126	90, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( cos ` y ) =/= 0 )
127	125, 126	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( cos ` -u y ) =/= 0 )
128	86, 127	retancld 14875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` -u y ) e. RR )
129	106, 25	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( cos ` -u x ) =/= 0 )
130	100, 129	retancld 14875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` -u x ) e. RR )
131	128, 130	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( ( tan ` -u y ) < ( tan ` -u x ) <-> -u ( tan ` -u x ) < -u ( tan ` -u y ) ) )
132	122, 131	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u ( tan ` -u x ) < -u ( tan ` -u y ) )
133	123	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u -u y = y )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` -u -u y ) = ( tan ` y ) )
135	123	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u y e. CC )
136		tanneg 14878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. CC /\ ( cos ` -u y ) =/= 0 ) -> ( tan ` -u -u y ) = -u ( tan ` -u y ) )
137	135, 127, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` -u -u y ) = -u ( tan ` -u y ) )
138	134, 137	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> ( tan ` y ) = -u ( tan ` -u y ) )
139	132, 138	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ y <_ 0 ) -> -u ( tan ` -u x ) < ( tan ` y ) )
140	139	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) /\ y <_ 0 ) -> -u ( tan ` -u x ) < ( tan ` y ) )
141		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> 0 e. RR )
142		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
143	5, 142	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> y e. RR )
144	80, 140, 141, 143	ltlecasei 10145	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> -u ( tan ` -u x ) < ( tan ` y ) )
145	28, 144	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ x < 0 ) -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) )
146		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x < y )
147	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x e. RR )
148		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ x )
149		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
150	149, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> ( -u ( pi / 2 ) < x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
151	150	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x < ( pi / 2 ) )
152		elico2 12237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < ( pi / 2 ) ) ) )
153	96, 60, 152	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < ( pi / 2 ) ) )
154	147, 148, 151, 153	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
155		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
156	5, 155	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> y e. RR )
157		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> 0 e. RR )
158	147, 156, 146	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> x <_ y )
159	157, 147, 156, 148, 158	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ y )
160	155, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> ( -u ( pi / 2 ) < y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
161	160	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> y < ( pi / 2 ) )
162		elico2 12237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y < ( pi / 2 ) ) ) )
163	96, 60, 162	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y /\ y < ( pi / 2 ) ) )
164	156, 159, 161, 163	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) )
165		tanord1 24283	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( 0 [,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y <-> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
166	154, 164, 165	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> ( x < y <-> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
167	146, 166	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) /\ 0 <_ x ) -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) )
168	145, 167, 15, 102	ltlecasei 10145	. . . . 5 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ x < y ) -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) )
169	168	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( x < y -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
170	169	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ y e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) ) -> ( x < y -> ( tan ` x ) < ( tan ` y ) ) )
171	2, 3, 4, 5, 14, 170	ltord1 10554	. 2 |- ( ( T. /\ ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )
172	1, 171	mpan 706	1 |- ( ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ B e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( A < B <-> ( tan ` A ) < ( tan ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   Recre 13837   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  24642  atanord  24654  basellem4  24810