Theorem volfiniune 30293

Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 23315 what voliune 30292 is to voliun 23322. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
volfiniune	|- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = Σ* n e. A ( vol ` B ) )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem volfiniune

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> A e. Fin )
2		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> A. n e. A B e. dom vol )
3		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> A. n e. A ( vol ` B ) e. RR )
4		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. n e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( A. n e. A B e. dom vol /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> A. n e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) )
6		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> Disj n e. A B )
7		volfiniun 23315	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A ( B e. dom vol /\ ( vol ` B ) e. RR ) /\ Disj n e. A B ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = sum_ n e. A ( vol ` B ) )
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = sum_ n e. A ( vol ` B ) )
9		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ n A
10	9	nfel1 2779	. . . . . 6 |- F/ n A e. Fin
11		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ n A. n e. A B e. dom vol
12		nfdisj1 4633	. . . . . 6 |- F/ nDisj n e. A B
13	10, 11, 12	nf3an 1831	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B )
14		nfra1 2941	. . . . 5 |- F/ n A. n e. A ( vol ` B ) e. RR
15	13, 14	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR )
16	3	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. RR )
17		rspa 2930	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. A B e. dom vol /\ n e. A ) -> B e. dom vol )
18		volf 23297	. . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
19	18	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( B e. dom vol -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. A B e. dom vol /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	2, 20	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
23		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
24		elicc1 12219	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol ` B ) /\ ( vol ` B ) <_ +oo ) ) )
25	22, 23, 24	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol ` B ) /\ ( vol ` B ) <_ +oo ) )
26	25	simp2bi 1077	. . . . . 6 |- ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( vol ` B ) )
27	21, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) /\ n e. A ) -> 0 <_ ( vol ` B ) )
28		ltpnf 11954	. . . . . 6 |- ( ( vol ` B ) e. RR -> ( vol ` B ) < +oo )
29	16, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) < +oo )
30		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
31		elico2 12237	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( vol ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( vol ` B ) /\ ( vol ` B ) < +oo ) ) )
32	30, 23, 31	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( vol ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( vol ` B ) /\ ( vol ` B ) < +oo ) )
33	16, 27, 29, 32	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
34	9, 15, 1, 33	esumpfinvalf 30138	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> Σ* n e. A ( vol ` B ) = sum_ n e. A ( vol ` B ) )
35	8, 34	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = Σ* n e. A ( vol ` B ) )
36		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> E. n e. A ( vol ` B ) = +oo )
37		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( vol ` B ) = +oo
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n vol
39		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n [_ k / n ]_ B
40	38, 39	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( vol ` [_ k / n ]_ B )
41	40	nfeq1 2778	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo
42		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( vol ` B ) = ( vol ` [_ k / n ]_ B ) )
44	43	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( vol ` B ) = +oo <-> ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo ) )
45	37, 41, 44	cbvrex 3168	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. A ( vol ` B ) = +oo <-> E. k e. A ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo )
46	36, 45	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> E. k e. A ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo )
47	39	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ k / n ]_ B e. dom vol
48	42	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( B e. dom vol <-> [_ k / n ]_ B e. dom vol ) )
49	47, 48	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A -> ( A. n e. A B e. dom vol -> [_ k / n ]_ B e. dom vol ) )
50	49	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. A B e. dom vol /\ k e. A ) -> [_ k / n ]_ B e. dom vol )
51	50	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. A ) -> [_ k / n ]_ B e. dom vol )
52		finiunmbl 23312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. A ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
54		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n k
55	9, 54, 39, 42	ssiun2sf 29378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. A -> [_ k / n ]_ B C_ U_ n e. A B )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. A ) -> [_ k / n ]_ B C_ U_ n e. A B )
57		volss 23301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [_ k / n ]_ B e. dom vol /\ U_ n e. A B e. dom vol /\ [_ k / n ]_ B C_ U_ n e. A B ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
58	51, 53, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. A ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
59	58	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ k e. A ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
60	59	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) /\ k e. A ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
61	60	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> A. k e. A ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
62		r19.29r 3073	. . . . . . 7 |- ( ( E. k e. A ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo /\ A. k e. A ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) -> E. k e. A ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) )
63	46, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> E. k e. A ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) )
64		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo -> ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) <-> +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) )
65	64	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
66	65	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. k e. A ( ( vol ` [_ k / n ]_ B ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ B ) <_ ( vol ` U_ n e. A B ) ) -> E. k e. A +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
67	63, 66	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> E. k e. A +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
68		rexex 3002	. . . . . 6 |- ( E. k e. A +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) -> E. k +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
69		19.9v 1896	. . . . . 6 |- ( E. k +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) <-> +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
70	68, 69	sylib 208	. . . . 5 |- ( E. k e. A +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
71	67, 70	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) )
72		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
73	18	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( U_ n e. A B e. dom vol -> ( vol ` U_ n e. A B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
74	72, 73	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( U_ n e. A B e. dom vol -> ( vol ` U_ n e. A B ) e. RR* )
75	52, 74	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) e. RR* )
76	75	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) e. RR* )
77	76	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) e. RR* )
78		xgepnf 11996	. . . . 5 |- ( ( vol ` U_ n e. A B ) e. RR* -> ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) <-> ( vol ` U_ n e. A B ) = +oo ) )
79	77, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. A B ) <-> ( vol ` U_ n e. A B ) = +oo ) )
80	71, 79	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = +oo )
81		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ n E. n e. A ( vol ` B ) = +oo
82	13, 81	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo )
83		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> A e. Fin )
84	20	3ad2antl2 1224	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	84	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) /\ n e. A ) -> ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
86	82, 83, 85, 36	esumpinfval 30135	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> Σ* n e. A ( vol ` B ) = +oo )
87	80, 86	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) /\ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = Σ* n e. A ( vol ` B ) )
88		exmid 431	. . . . 5 |- ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ -. A. n e. A ( vol ` B ) e. RR )
89		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR <-> -. A. n e. A ( vol ` B ) e. RR )
90	89	orbi2i 541	. . . . 5 |- ( ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ -. A. n e. A ( vol ` B ) e. RR ) )
91	88, 90	mpbir 221	. . . 4 |- ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR )
92		r19.29 3072	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. A B e. dom vol /\ E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR ) -> E. n e. A ( B e. dom vol /\ -. ( vol ` B ) e. RR ) )
93		xrge0nre 12277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( vol ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` B ) = +oo )
94	19, 93	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. dom vol /\ -. ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` B ) = +oo )
95	94	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. n e. A ( B e. dom vol /\ -. ( vol ` B ) e. RR ) -> E. n e. A ( vol ` B ) = +oo )
96	92, 95	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. A B e. dom vol /\ E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR ) -> E. n e. A ( vol ` B ) = +oo )
97	96	ex 450	. . . . 5 |- ( A. n e. A B e. dom vol -> ( E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR -> E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) )
98	97	orim2d 885	. . . 4 |- ( A. n e. A B e. dom vol -> ( ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A -. ( vol ` B ) e. RR ) -> ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) ) )
99	91, 98	mpi 20	. . 3 |- ( A. n e. A B e. dom vol -> ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) )
100	99	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) -> ( A. n e. A ( vol ` B ) e. RR \/ E. n e. A ( vol ` B ) = +oo ) )
101	35, 87, 100	mpjaodan 827	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol /\ Disj n e. A B ) -> ( vol ` U_ n e. A B ) = Σ* n e. A ( vol ` B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416   volcvol 23232  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  volmeas  30294