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Theorem cxpeq 24498

Description: Solve an equation involving an

-th power. The expression

is a way to write the primitive

-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
cxpeq	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem cxpeq Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		nn0uz 11722	. . . . . . 7
5	3, 4	syl6eleq 2711	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		eluzfz1 12348	. . . . . 6
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10
9		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12
10		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
11		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
13	12	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
14		cxpcl 24420	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	8, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		0nn0 11307	. . . . . . . 8
18		expcl 12878	. . . . . . . 8 $/\$
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	mul02d 10234	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 796	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	1	0expd 13024	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	22, 23, 24	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		nncn 11028	. . . . . . . . . 10
28		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10
29		reccl 10692	. . . . . . . . . . 11 $/\$
30		recne0 10698	. . . . . . . . . . 11 $/\$
31	29, 30	0cxpd 24456	. . . . . . . . . 10 $/\$
32	27, 28, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	26, 33	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	20, 35, 21	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		oveq2 6658	. . . . . . . 8
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . 7
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . 6
40	39	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$
41	7, 36, 40	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	41	expr 643	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
43		simpl1 1064	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
44		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
45		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	nnzd 11481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
47		explog 24340	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
48	43, 44, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	eqcomd 2628	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
50	10	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
52	43, 44	logcld 24317	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
53	51, 52	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
54	45	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
55	43, 54	expcld 13008	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
56	43, 44, 46	expne0d 13014	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
57		eflogeq 24348	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
58	53, 55, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59	49, 58	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
60	55, 56	logcld 24317	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . 11
63		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12
64		picn 24211	. . . . . . . . . . . 12
65	63, 64	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
66	62, 65	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10
67		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 $/\$
70	66, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	61, 70	addcld 10059	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	51	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	52	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	71, 72, 73, 75	divmuld 10823	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		fveq2 6191	. . . . . . . 8
78	72, 75	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78, 61	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80, 68	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	62, 64	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13
83		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	81, 82, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		efadd 14824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	79, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	61, 70, 72, 75	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	61, 72, 75	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 68, 72, 75	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	62, 63, 64	mul12i 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	91	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 94, 72, 75	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	92, 95	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	80, 94, 68	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	90, 97, 98	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	88, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104, 78	cxpefd 24458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	106, 108, 80, 109	cxpmul2zd 24462	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	106, 108, 81	cxpefd 24458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		logm1 24335	. . . . . . . . . . . . . . . 16
113	112	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	113	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14
115	111, 114	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106, 80	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
118	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
119	117, 118, 13	cxpne0d 24459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
120	119	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	116, 120, 109	expclzd 13013	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	109, 122	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	116, 123	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	123	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 120, 125	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	116, 120, 125, 109	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	122	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	122	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		moddifz 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
133	130, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
135	116, 120, 128, 133, 134	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	123	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	68, 136	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137, 72, 75	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		root1id 24495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141	122, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	133, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	135, 139, 145	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	127, 146	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	121, 124, 126, 147	diveq1d 10809	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	110, 115, 148	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	105, 149	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	86, 102, 150	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152		eflog 24323	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
153	43, 44, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . 11 $/\$
157	109, 122, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13
159		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
161	160	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13
162	158, 161	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12
163	162	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 $/\$
164	163	ex 450	. . . . . . . . . 10
165	157, 164	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	155, 165	sylbid 230	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	77, 166	syl5 34	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	76, 167	sylbird 250	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	168	rexlimdva 3031	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
170	59, 169	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
171		oveq1 6657	. . . . . . 7
172	171	oveq1d 6665	. . . . . 6
173	172	eqeq2d 2632	. . . . 5
174	173	rexbidv 3052	. . . 4
175	170, 174	syl5ibcom 235	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
176	42, 175	pm2.61dane 2881	. 2 $/\$ $/\$
177		simp3 1063	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
178		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10
179	178	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
180	179	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
181	177, 180	cxpcld 24454	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	181	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
183		elfznn0 12433	. . . . . . 7
184		expcl 12878	. . . . . . 7 $/\$
185	15, 183, 184	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
186	10	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
187	186	nnnn0d 11351	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
188	182, 185, 187	mulexpd 13023	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
189	177	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
190		cxproot 24436	. . . . . . 7 $/\$
191	189, 186, 190	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
192	183	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
194	186	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
195	193, 194	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
197	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
198	197, 187, 192	expmuld 13011	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 192, 187	expmuld 13011	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
200	196, 198, 199	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
201	186, 140	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
202	201	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
203		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
204	203	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
205		1exp 12889	. . . . . . . 8
206	204, 205	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
207	200, 202, 206	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
208	191, 207	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
209	189	mulid1d 10057	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
210	188, 208, 209	3eqtrd 2660	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
211		oveq1 6657	. . . . 5
212	211	eqeq1d 2624	. . . 4
213	210, 212	syl5ibrcom 237	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
214	213	rexlimdva 3031	. 2 $/\$ $/\$
215	176, 214	impbid 202	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cmo 12668

cexp 12860

ce 14792

cpi 14797

clog 24301

ccxp 24302

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304

This theorem is referenced by: 1cubr 24569

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