Theorem jm2.26lem3 37568

Description: Lemma for jm2.26 37569. Use acongrep 37547 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 37525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 37525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29		frmy 37479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 37478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
49	48	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
50	1, 38, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
51	50	nn0red 11352	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
65		le2add 10510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
81		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
82	80, 81	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
83	82	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
84		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
104		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
110	109, 81	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
111		fzm1 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 827	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115		jm2.24 37530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 10195	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 37521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121	120	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
124	7	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 10384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 37521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152	151	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀))
155		rmyneg 37493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
161	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182		absneg 14017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
187		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
195		simpr2 1068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 15033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 189	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 10399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 14195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207	165	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 15033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 189	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218	199, 217	jca 554	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219		pm4.56 516	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221	220	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2813	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1261	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.26  37569