Theorem log2cnv 24671

Description: Using the Taylor series for arctan(i / 3), produce a rapidly convergent series for log2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2cnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
log2cnv	⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Proof of Theorem log2cnv

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11389	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		2cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		ax-icn 9995	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		ine0 10465	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
6	3, 4, 5	divcli 10767	. . . . 5 ⊢ (2 / i) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 / i) ∈ ℂ)
8		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 11115	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
10	4, 8, 9	divcli 10767	. . . . . 6 ⊢ (i / 3) ∈ ℂ
11		absdiv 14035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3)))
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(i / 3)) = ((abs‘i) / (abs‘3))
13		absi 14026	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
14		3re 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
17	15, 14, 16	ltleii 10160	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
18		absid 14036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
19	14, 17, 18	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘3) = 3
20	13, 19	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘i) / (abs‘3)) = (1 / 3)
21	12, 20	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(i / 3)) = (1 / 3)
22		1lt3 11196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
23		recgt1 10919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
24	14, 16, 23	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
25	22, 24	mpbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
26	21, 25	eqbrtri 4674	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(i / 3)) < 1
27		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
28	27	atantayl3 24666	. . . . . 6 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
29	10, 26, 28	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘(i / 3)))
31		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (-1↑𝑛) = (-1↑𝑘))
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)))
35	34, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1)))
36	31, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
37		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) ∈ V
38	36, 27, 37	fvmpt 6282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ∈ ℂ)
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
42		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	42, 43	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 46	expdivd 13022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
49		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
50		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
51	49, 50	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
52		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
53	4, 46, 52	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
54		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
55		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 46, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
58	56	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
59	51, 53, 57, 58	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((i↑((2 · 𝑘) + 1)) / (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
60		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
61	4, 44, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((i↑(2 · 𝑘)) · i))
62		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
63	4, 42, 62	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = ((i↑2)↑𝑘))
64		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
65	64	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2)↑𝑘) = (-1↑𝑘)
66	63, 65	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑(2 · 𝑘)) = (-1↑𝑘))
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i↑(2 · 𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · i))
68	61, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · i))
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
70	51, 51, 39	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = ((-1↑𝑘) · ((-1↑𝑘) · i)))
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
73	71, 72, 72	expaddd 13010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)))
74		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
75	49, 42, 74	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = ((-1↑2)↑𝑘))
76		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
77	76	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝑘) = (1↑𝑘)
78	75, 77	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (1↑𝑘))
79		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑘)) = (-1↑(𝑘 + 𝑘)))
82		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
83		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑘 + 𝑘)) = 1)
86	73, 85	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) = 1)
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = (1 · i))
88	4	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · i) = i
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (-1↑𝑘)) · i) = i)
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) = i)
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
94		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
95	10, 46, 94	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
96		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
97	44, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
98	97	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
99	97	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
100	51, 95, 98, 99	divassd 10836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))))
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
103	57, 98	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))))
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3↑((2 · 𝑘) + 1)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
105	38, 102, 104	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))))
106	97, 56	nnmulcld 11068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℕ)
107	106	nncnd 11036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
108	106	nnne0d 11065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1))) ≠ 0)
109	39, 107, 108	divcld 10801	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / (((2 · 𝑘) + 1) · (3↑((2 · 𝑘) + 1)))) ∈ ℂ)
110	105, 109	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
111	110	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑘) + 1)))
113		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (9↑𝑛) = (9↑𝑘))
114	112, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
116		log2cnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
117		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ V
118	115, 116, 117	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
119		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℕ0) → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
120	8, 44, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = ((3↑(2 · 𝑘)) · 3))
121		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
122	8, 42, 121	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = ((3↑2)↑𝑘))
123		sq3 12961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3↑2) = 9
124	123	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3↑2)↑𝑘) = (9↑𝑘)
125	122, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑(2 · 𝑘)) = (9↑𝑘))
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3↑(2 · 𝑘)) · 3) = ((9↑𝑘) · 3))
127		9nn 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
128		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
129	127, 128	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (9↑𝑘) ∈ ℂ)
131		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((9↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
132	130, 8, 131	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((9↑𝑘) · 3) = (3 · (9↑𝑘)))
133	120, 126, 132	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3↑((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · (9↑𝑘)))
134	90, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · (i↑((2 · 𝑘) + 1))) / (3↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) = (i / (3 · (9↑𝑘))))
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((-1↑𝑘) · ((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)))
137		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ (9↑𝑘) ∈ ℕ) → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
138	54, 129, 137	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
139	138	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	138	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · (9↑𝑘)) ≠ 0)
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / (3 · (9↑𝑘))) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) · (((i / 3)↑((2 · 𝑘) + 1)) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))))
143	40, 130, 98	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1)) = ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · (9↑𝑘)) · ((2 · 𝑘) + 1))) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
145	38, 142, 144	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘) = (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
147		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
148	54, 97, 147	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℕ)
149	148, 129	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℕ)
150	149	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ∈ ℂ)
151	149	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) ≠ 0)
152	39, 150, 151	divcld 10801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ)
153		mulcom 10022	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) ∈ ℂ ∧ (2 / i) ∈ ℂ) → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
154	152, 6, 153	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = ((2 / i) · (i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))))
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → i ≠ 0)
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 10830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((i / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) · (2 / i)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
159	118, 158	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
160	159	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((2 / i) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · (((i / 3)↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))‘𝑘)))
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 14388	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))))
162	161	trud 1493	. 2 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3)))
163		bndatandm 24656	. . . . . . . 8 ⊢ (((i / 3) ∈ ℂ ∧ (abs‘(i / 3)) < 1) → (i / 3) ∈ dom arctan)
164	10, 26, 163	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (i / 3) ∈ dom arctan
165		atanval 24611	. . . . . . 7 ⊢ ((i / 3) ∈ dom arctan → (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))))
167		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
168	167	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 3) = ((3 + 1) / 3)
169		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
170	8, 169, 8, 9	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
171	8, 9	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
172	171	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
173	168, 170, 172	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
174	169, 8, 9	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
175	169, 174	subnegi 10360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
176		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(1 / 3) = (-1 / 3))
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(1 / 3) = (-1 / 3)
178		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
179	178	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (-1 / 3)
180	4, 4, 8, 9	divassi 10781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) / 3) = (i · (i / 3))
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(1 / 3) = (i · (i / 3))
182	181	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -(1 / 3)) = (1 − (i · (i / 3)))
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (i · (i / 3))) = (4 / 3)
184	183	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 − (i · (i / 3)))) = (log‘(4 / 3))
185	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
186		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
188		3m1e2 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
189	188	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
190	171	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) = (1 − (1 / 3))
192	169, 174	negsubi 10359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
193	181	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + -(1 / 3)) = (1 + (i · (i / 3)))
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + (i · (i / 3))) = (2 / 3)
195	194	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘(1 + (i · (i / 3)))) = (log‘(2 / 3))
196	184, 195	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
197		4re 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
198		4pos 11116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
199	197, 198	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
200	14, 16	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
201		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (4 / 3) ∈ ℝ+)
202	199, 200, 201	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 3) ∈ ℝ+
203		2rp 11837	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
204		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (2 / 3) ∈ ℝ+)
205	203, 200, 204	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ+
206		relogdiv 24339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (2 / 3) ∈ ℝ+) → (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3))))
207	202, 205, 206	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = ((log‘(4 / 3)) − (log‘(2 / 3)))
208		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
209		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
210		divcan7 10734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2))
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = (4 / 2)
212		4d2e2 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 / 2) = 2
213	211, 212	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 / 3) / (2 / 3)) = 2
214	213	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘((4 / 3) / (2 / 3))) = (log‘2)
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2650	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3))))) = (log‘2)
216	215	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (i / 3)))) − (log‘(1 + (i · (i / 3)))))) = ((i / 2) · (log‘2))
217	166, 216	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (arctan‘(i / 3)) = ((i / 2) · (log‘2))
218	217	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
219		2ne0 11113	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
220	4, 3, 219	divcli 10767	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
221		logcl 24315	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (log‘2) ∈ ℂ)
222	3, 219, 221	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
223	6, 220, 222	mulassi 10049	. . . 4 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = ((2 / i) · ((i / 2) · (log‘2)))
224	218, 223	eqtr4i 2647	. . 3 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2))
225		divcan6 10732	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((2 / i) · (i / 2)) = 1)
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 709	. . . 4 ⊢ ((2 / i) · (i / 2)) = 1
227	226	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ (((2 / i) · (i / 2)) · (log‘2)) = (1 · (log‘2))
228	222	mulid2i 10043	. . 3 ⊢ (1 · (log‘2)) = (log‘2)
229	224, 227, 228	3eqtri 2648	. 2 ⊢ ((2 / i) · (arctan‘(i / 3))) = (log‘2)
230	162, 229	breqtri 4678	1 ⊢ seq0( + , 𝐹) ⇝ (log‘2)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  9c9 11077  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  logclog 24301  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  log2tlbnd  24672