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Theorem bitsmod 15158

Description: Truncating the bit sequence after some

is equivalent to reducing the argument

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	$/\$ bits bits ..^

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$
2		2nn 11185	. . . . . . . . . 10
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	nnexpcld 13030	. . . . . . . 8 $/\$
6	1, 5	zmodcld 12691	. . . . . . 7 $/\$
7	6	nn0zd 11480	. . . . . 6 $/\$
8	7	biantrurd 529	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
11		bitsval2 15147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	biantrud 528	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits bits $/\$
15		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
17	9	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
19	18, 10	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
20	17, 19	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
22	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
24	23, 19	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
26		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
27	26, 10	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
28		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
30	10, 29	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
32		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35		nn0ltp1le 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
36	10, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 36	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
38		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
39	31, 34, 37, 38	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
40		dvdsexp 15049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	16, 30, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
42	27, 41	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
43	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
45		moddifz 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
46	17, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	43	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
48		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
50	26, 49, 34	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 22	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
52		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
53	47, 50, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
54	46, 53	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
55	19	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
56	55, 16	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
57		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 47, 51, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	42, 54, 58	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	51	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
61	19	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	10	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
63	26, 49, 62	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
64	60, 61, 63	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
65	59, 64	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
66	10	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
67	33	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67, 13	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
69		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	62, 34, 68, 69	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsexp 15049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
73		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
74	55, 47, 51, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	72, 54, 74	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
76		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
77	55, 63, 51, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
79		dvdscmulr 15010	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
80	16, 78, 55, 63, 79	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81	65, 80	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
82	22	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
83	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
86	82, 60, 61, 63	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
89		fladdz 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
90	24, 78, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
91	88, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	25	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
94	78	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 94	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
96	92, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97	81, 96	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98		dvdssub2 15023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
99	16, 21, 25, 97, 98	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	notbid 308	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
101	12, 14, 100	3bitr3d 298	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
102		dvds0 14997	. . . . . . . . . . . . 13
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
104	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
106		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
108	32	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
111	105, 110	modcld 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
112		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
114	107, 113	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
117	111, 114, 116	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
118	110	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
119	114	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
120		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
121	105, 110, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	107	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
123		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
125		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
126	109	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
127	112	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
128	126, 127	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	125, 128	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
130		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
131	109, 113, 129, 130	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
132	122, 124, 131	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
133	111, 118, 119, 121, 132	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
134	114	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
135	134	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
136	133, 135	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
137		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
138	111, 137, 114	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
139	136, 138	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
140		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . 14
141	139, 140	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
142	111, 114	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
143		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14
144		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
145	142, 143, 144	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	117, 141, 145	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
147	103, 146	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
148	125	intnand 962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
149	147, 148	2thd 255	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
150	149	con2bid 344	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
151	101, 150	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$
152	108	biantrurd 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$ bits $/\$
153	151, 152	bitr3d 270	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
154		an12 838	. . . . . . 7 $/\$ bits $/\$ bits $/\$ $/\$
155	153, 154	syl6bb 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
156	155	pm5.32da 673	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
157	8, 156	bitr3d 270	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
158		3anass 1042	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159		elfzo2 12473	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$
160		elnn0uz 11725	. . . . . . . 8
161	160	3anbi1i 1253	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		3anass 1042	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	159, 161, 162	3bitr2i 288	. . . . . 6 ..^ $/\$ $/\$
164	163	anbi2i 730	. . . . 5 bits $/\$ ..^ bits $/\$ $/\$ $/\$
165		an12 838	. . . . 5 bits $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
166	164, 165	bitri 264	. . . 4 bits $/\$ ..^ $/\$ bits $/\$ $/\$
167	157, 158, 166	3bitr4g 303	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ ..^
168		bitsval 15146	. . 3 bits $/\$ $/\$
169		elin 3796	. . 3 bits ..^ bits $/\$ ..^
170	167, 168, 169	3bitr4g 303	. 2 $/\$ bits bits ..^
171	170	eqrdv 2620	1 $/\$ bits bits ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cin 3573 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983 bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-dvds 14984 df-bits 15144

This theorem is referenced by: sadaddlem 15188 sadadd 15189 bitsres 15195 smumul 15215

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