Theorem fsum2dsub 30685

Description: Lemma for breprexp 30711- Re-index a double sum, using difference of the initial indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzsum2sub.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
fzsum2sub.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
fzsum2sub.1	|- ( i = ( k - j ) -> A = B )
fzsum2sub.2	|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
fzsum2sub.3	|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) -> B = 0 )
fzsum2sub.4	|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( 0..^ j ) ) -> B = 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsum2dsub	|- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... M ) sum_ j e. ( 1 ... N ) A = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ j e. ( 1 ... N ) B )

Distinct variable groups:   A, k   B, i   i, M, j, k   i, N, j, k   ph, i, j, k

Allowed substitution hints:   A( i, j)   B( j, k)

Proof of Theorem fsum2dsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 12343	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) C_ ZZ
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ZZ )
4		0zd 11389	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
5		fzsum2sub.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 11480	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> M e. ZZ )
8		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
9		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ NN
10		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . . 12 |- NN C_ NN0
11	9, 10	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ NN0
12	11, 2	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. NN0 )
13		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
14	12, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
15		neg0 10327	. . . . . . . . . 10 |- -u 0 = 0
16		uzneg 11706	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> -u 0 e. ( ZZ>= ` -u j ) )
17	15, 16	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( ZZ>= ` -u j ) )
18		fzss1 12380	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( ZZ>= ` -u j ) -> ( 0 ... M ) C_ ( -u j ... M ) )
19	14, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... M ) C_ ( -u j ... M ) )
20		fzssuz 12382	. . . . . . . 8 |- ( -u j ... M ) C_ ( ZZ>= ` -u j )
21	19, 20	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... M ) C_ ( ZZ>= ` -u j ) )
22	21	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` -u j ) )
23	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
24		fzsum2sub.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
25	8, 22, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A e. CC )
26		fzsum2sub.1	. . . . 5 |- ( i = ( k - j ) -> A = B )
27	3, 4, 7, 25, 26	fsumshft 14512	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ i e. ( 0 ... M ) A = sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B )
28	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> M e. NN0 )
29	9, 2	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. NN )
30	29	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. NN0 )
31	28, 30	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) e. NN0 )
32	31	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) e. RR )
33	32	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) < ( ( M + j ) + 1 ) )
34		fzdisj 12368	. . . . . . . 8 |- ( ( M + j ) < ( ( M + j ) + 1 ) -> ( ( j ... ( M + j ) ) i^i ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) = (/) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( j ... ( M + j ) ) i^i ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) = (/) )
36		fzsum2sub.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN0 )
37	36	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
38	6, 37	zaddcld 11486	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
40	31	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) e. ZZ )
41	29	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. RR )
42		nn0addge2 11340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. RR /\ M e. NN0 ) -> j <_ ( M + j ) )
43	41, 28, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j <_ ( M + j ) )
44	36	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> N e. RR )
46	28	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> M e. RR )
47		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j <_ N )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j <_ N )
49	41, 45, 46, 48	leadd2dd 10642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) <_ ( M + N ) )
50		elfz4 12335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( M + j ) e. ZZ ) /\ ( j <_ ( M + j ) /\ ( M + j ) <_ ( M + N ) ) ) -> ( M + j ) e. ( j ... ( M + N ) ) )
51	3, 39, 40, 43, 49, 50	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + j ) e. ( j ... ( M + N ) ) )
52		fzsplit 12367	. . . . . . . 8 |- ( ( M + j ) e. ( j ... ( M + N ) ) -> ( j ... ( M + N ) ) = ( ( j ... ( M + j ) ) u. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( j ... ( M + N ) ) = ( ( j ... ( M + j ) ) u. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
54		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( j ... ( M + N ) ) e. Fin )
55		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> ph )
56	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
57	11, 56	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> j e. NN0 )
58		fz2ssnn0 29547	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j ... ( M + N ) ) C_ NN0 )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> ( j ... ( M + N ) ) C_ NN0 )
60		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> k e. ( j ... ( M + N ) ) )
61	59, 60	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> k e. NN0 )
62	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( k - j ) -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
63		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ph )
64		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> i e. ( ZZ>= ` -u j ) )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
66	63, 64, 65, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` -u j ) ) -> A e. CC )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` -u j ) A e. CC )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> A. i e. ( ZZ>= ` -u j ) A e. CC )
70		nnsscn 11025	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ CC
71	9, 70	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ CC
72		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> j e. ( 1 ... N ) )
73	71, 72	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> j e. CC )
74		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
75	74	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
76	73, 75	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> -u ( j - k ) = ( k - j ) )
77	1, 72	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> j e. ZZ )
78		eluzmn 11694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` ( j - k ) ) )
79	77, 74, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` ( j - k ) ) )
80		uzneg 11706	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( j - k ) ) -> -u ( j - k ) e. ( ZZ>= ` -u j ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> -u ( j - k ) e. ( ZZ>= ` -u j ) )
82	76, 81	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k - j ) e. ( ZZ>= ` -u j ) )
83	62, 69, 82	rspcdva 3316	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
84	55, 56, 61, 83	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( j ... ( M + N ) ) ) -> B e. CC )
85	35, 53, 54, 84	fsumsplit 14471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B = ( sum_ k e. ( j ... ( M + j ) ) B + sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) B ) )
86	3	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. CC )
87	86	addid2d 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 + j ) = j )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) = ( j ... ( M + j ) ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( j ... ( M + j ) ) = ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) )
90	89	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( j ... ( M + j ) ) B = sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B )
91		fzsum2sub.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) ) -> B = 0 )
92	91	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) B = sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) 0 )
93		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) e. Fin
94		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) 0 = 0 )
95	94	olcs 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) 0 = 0 )
96	93, 95	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) 0 = 0
97	92, 96	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) B = 0 )
98	90, 97	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ k e. ( j ... ( M + j ) ) B + sum_ k e. ( ( ( M + j ) + 1 ) ... ( M + N ) ) B ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B + 0 ) )
99		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) e. Fin )
100		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> ph )
101	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
102		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` j ) )
104		eluzadd 11716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` j ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( j + M ) ) )
105	103, 7, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( j + M ) ) )
106	36	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. CC )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> N e. CC )
108		zsscn 11385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ZZ C_ CC
109	108, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> M e. CC )
110	107, 109	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( N + M ) = ( M + N ) )
111	86, 109	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( j + M ) = ( M + j ) )
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ZZ>= ` ( j + M ) ) = ( ZZ>= ` ( M + j ) ) )
113	105, 110, 112	3eltr3d 2715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + j ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + j ) ) )
115		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( M + j ) ) -> ( j ... ( M + j ) ) C_ ( j ... ( M + N ) ) )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> ( j ... ( M + j ) ) C_ ( j ... ( M + N ) ) )
117		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) )
118	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) = ( j ... ( M + j ) ) )
119	117, 118	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> k e. ( j ... ( M + j ) ) )
120	116, 119	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> k e. ( j ... ( M + N ) ) )
121	100, 101, 120, 61	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> k e. NN0 )
122	100, 101, 121, 83	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) ) -> B e. CC )
123	99, 122	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B e. CC )
124	123	addid1d 10236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B + 0 ) = sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B )
125	85, 98, 124	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B = sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B )
126		fzval3 12536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( j ... ( M + N ) ) = ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) )
127	39, 126	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( j ... ( M + N ) ) = ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) )
128	127	ineq2d 3814	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 0..^ j ) i^i ( j ... ( M + N ) ) ) = ( ( 0..^ j ) i^i ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) )
129		fzodisj 12502	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ j ) i^i ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = (/)
130	128, 129	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 0..^ j ) i^i ( j ... ( M + N ) ) ) = (/) )
131	39	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( M + N ) + 1 ) e. ZZ )
132	30	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ j )
133	131	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( M + N ) + 1 ) e. RR )
134	39	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
135		nn0addge2 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ M e. NN0 ) -> N <_ ( M + N ) )
136	44, 5, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N <_ ( M + N ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> N <_ ( M + N ) )
138	134	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( M + N ) <_ ( ( M + N ) + 1 ) )
139	45, 134, 133, 137, 138	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> N <_ ( ( M + N ) + 1 ) )
140	41, 45, 133, 48, 139	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j <_ ( ( M + N ) + 1 ) )
141		elfz4 12335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( M + N ) + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( 0 <_ j /\ j <_ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... ( ( M + N ) + 1 ) ) )
142	4, 131, 3, 132, 140, 141	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... ( ( M + N ) + 1 ) ) )
143		fzosplit 12501	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) + 1 ) ) -> ( 0..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ j ) u. ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ j ) u. ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) )
145		fzval3 12536	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ZZ -> ( 0 ... ( M + N ) ) = ( 0..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) )
146	39, 145	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) = ( 0..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) )
147	127	uneq2d 3767	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 0..^ j ) u. ( j ... ( M + N ) ) ) = ( ( 0..^ j ) u. ( j..^ ( ( M + N ) + 1 ) ) ) )
148	144, 146, 147	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) = ( ( 0..^ j ) u. ( j ... ( M + N ) ) ) )
149		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
150	149	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
151		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ph )
152	2	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
153		fz0ssnn0 12435	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( M + N ) ) C_ NN0
154		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
155	153, 154	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
156	151, 152, 155, 83	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> B e. CC )
157	156	anass1rs 849	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> B e. CC )
158	130, 148, 150, 157	fsumsplit 14471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B = ( sum_ k e. ( 0..^ j ) B + sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B ) )
159		fzsum2sub.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) /\ k e. ( 0..^ j ) ) -> B = 0 )
160	159	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0..^ j ) B = sum_ k e. ( 0..^ j ) 0 )
161		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ j ) e. Fin
162		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ j ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0..^ j ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0..^ j ) 0 = 0 )
163	162	olcs 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ j ) e. Fin -> sum_ k e. ( 0..^ j ) 0 = 0 )
164	161, 163	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. ( 0..^ j ) 0 = 0
165	160, 164	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( 0..^ j ) B = 0 )
166	165	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ k e. ( 0..^ j ) B + sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B ) = ( 0 + sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B ) )
167	54, 84	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B e. CC )
168	167	addid2d 10237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 + sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B ) = sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B )
169	158, 166, 168	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( j ... ( M + N ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B )
170	125, 169	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( 0 + j ) ... ( M + j ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B )
171	27, 170	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ i e. ( 0 ... M ) A = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B )
172	171	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... N ) sum_ i e. ( 0 ... M ) A = sum_ j e. ( 1 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B )
173		fzfid 12772	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
174		fzfid 12772	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
175	25	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 1 ... N ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> A e. CC )
176	175	ancom2s 844	. . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> A e. CC )
177	173, 174, 176	fsumcom 14507	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... M ) sum_ j e. ( 1 ... N ) A = sum_ j e. ( 1 ... N ) sum_ i e. ( 0 ... M ) A )
178	149, 174, 156	fsumcom 14507	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ j e. ( 1 ... N ) B = sum_ j e. ( 1 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) B )
179	172, 177, 178	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... M ) sum_ j e. ( 1 ... N ) A = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ j e. ( 1 ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  breprexplemc  30710