Theorem dvfsumge 23785

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumge.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumge	|- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumle.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		df-neg 10269	. . . . . 6 |- -u A = ( 0 - A )
3	2	mpteq2i 4741	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	subcn 22669	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
10		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
13		iccssre 12255	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
15		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
16	14, 15	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ CC )
17	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
18		cncfmptc 22714	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
20		dvfsumle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
21		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 - A ) e. RR )
22	4, 5, 19, 20, 15, 21	cncfmpt2ss 22718	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
23	3, 22	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24		negex 10279	. . . . 5 |- -u B e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> -u B e. _V )
26		reelprrecn 10028	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
28		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
29	28	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
30		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
31	20, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
33	32	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34	31, 33	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
35	34	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
36	29, 35	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
38		dvfsumle.v	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
39		dvfsumle.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
40	27, 37, 38, 39	dvmptneg 23729	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> -u A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> -u B ) )
41		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
42	41	negeqd 10275	. . . 4 |- ( x = M -> -u A = -u C )
43		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
44	43	negeqd 10275	. . . 4 |- ( x = N -> -u A = -u D )
45		dvfsumle.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
46	45	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> -u X e. RR )
47		dvfsumge.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )
48	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
49	48	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
50		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
52		iooss1 12210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
54	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
55	54	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
56		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
58		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
60		iooss2 12211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
62	53, 61	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
63	62	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
64	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
65	29, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
67	65, 66	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
68		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M (,) N ) C_ RR
69		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
70	67, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
71	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
72	71	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
73	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
74	73	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
75		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
77	72, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
78	71, 77	feq12d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
79	70, 78	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
81	80	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
82	79, 81	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
83	82	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
84	63, 83	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> B e. RR )
85	84	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
86	45	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
87	85, 86	lenegd 10606	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( B <_ X <-> -u X <_ -u B ) )
88	47, 87	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> -u X <_ -u B )
89	1, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88	dvfsumle 23784	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X <_ ( -u D - -u C ) )
90		fzofi 12773	. . . . 5 |- ( M..^ N ) e. Fin
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
92	45	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
93	91, 92	fsumneg 14519	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X = -u sum_ k e. ( M..^ N ) X )
94	9	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR* )
95	12	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR* )
96		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
97	1, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ N )
98		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> N e. ( M [,] N ) )
99	94, 95, 97, 98	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M [,] N ) )
100	43	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A e. RR <-> D e. RR ) )
101	100	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> D e. RR ) )
102	99, 34, 101	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
103	102	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
104		lbicc2 12288	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
105	94, 95, 97, 104	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
106	41	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A e. RR <-> C e. RR ) )
107	106	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> C e. RR ) )
108	105, 34, 107	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
109	108	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
110	103, 109	neg2subd 10409	. . . 4 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = ( C - D ) )
111	103, 109	negsubdi2d 10408	. . . 4 |- ( ph -> -u ( D - C ) = ( C - D ) )
112	110, 111	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = -u ( D - C ) )
113	89, 93, 112	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ph -> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) )
114	102, 108	resubcld 10458	. . 3 |- ( ph -> ( D - C ) e. RR )
115	91, 45	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X e. RR )
116	114, 115	lenegd 10606	. 2 |- ( ph -> ( ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X <-> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) ) )
117	113, 116	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by: (None)