Theorem dvfsumle 23784

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumle.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumle	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumle

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12773	. . . 4 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumle.x	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
4		dvfsumle.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 12329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3655	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumle.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
15		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
19	16, 18	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
20		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. RR
22		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A e. RR <-> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
24	21, 23	rspc 3303	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
25	19, 24	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
26	13, 25	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR )
28		fzofzp1 12565	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR ) )
31	30	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
32	27, 28, 31	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
33		elfzofz 12485	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ k / x ]_ A e. RR ) )
36	35	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
37	27, 33, 36	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
38	32, 37	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. RR )
39		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
41	40	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
43		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
44		pncan2 10288	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
45	42, 43, 44	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
46	45	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
47	3	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
48		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
49	41, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
51	47, 50, 42	subdid 10486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
52	47	mulid1d 10057	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
53	46, 51, 52	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
54		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	mulcn 22670	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
56	6	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
58	8	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
60		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
62	28	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
63		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
65		iccss 12241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
66	57, 59, 61, 64, 65	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
67		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
68	56, 58, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
70	66, 69	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
71		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
72	70, 71	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC )
73	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
74		cncfmptc 22714	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
75	3, 72, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
76		cncfmptid 22715	. . . . . . 7 |- ( ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
77	70, 71, 76	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
78		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR /\ y e. RR ) -> ( X x. y ) e. RR )
79	54, 55, 75, 77, 71, 78	cncfmpt2ss 22718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
80		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
82	57	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
83		iooss1 12210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
84	82, 61, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
85	59	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
86		iooss2 12211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
87	85, 64, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
88	84, 87	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
89		ioossicc 12259	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
90	69, 71	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
91	89, 90	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
92	88, 91	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ CC )
93	92	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
94		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
95	73	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
96		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
97	81	dvmptid 23720	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
98		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR )
100	54	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101		iooretop 22569	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
103	81, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102	dvmptres 23726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> y ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> 1 ) )
104	81, 93, 94, 103, 47	dvmptcmul 23727	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) )
105	52	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
106	104, 105	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
107		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y A
108	107, 20, 22	cbvmpt 4749	. . . . . 6 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) = ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A )
109	66	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
110	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111		rescncf 22700	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) ) )
112	66, 110, 111	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
113	109, 112	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
114	108, 113	syl5eqelr 2706	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
115	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
116	115, 18	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
117	89	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M (,) N ) -> y e. ( M [,] N ) )
118	24	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
119	116, 117, 118	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
120	119	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
121	89	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
122	19	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
123	122	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
124	121, 123	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
126	124, 125	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
127		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ RR
128		dvfre 23714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
129	126, 127, 128	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
130		dvfsumle.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
132	131	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
133		dvfsumle.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
134	133	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
135	134	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
136		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
138	132, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
139	131, 138	feq12d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
140	129, 139	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
141		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
142	141	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
143	140, 142	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
144		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
145	144	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR
146		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
147	146	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. RR <-> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
148	145, 147	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( y e. ( M (,) N ) -> ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR -> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
149	143, 148	mpan9 486	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
150	107, 20, 22	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A )
151	150	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
152		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
153	152, 144, 146	cbvmpt 4749	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B )
154	131, 151, 153	3eqtr3g 2679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
155	81, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102	dvmptres 23726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
156		dvfsumle.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )
157	156	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ B )
158	157	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B )
159		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x X
160		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
161	159, 160, 144	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ x X <_ [_ y / x ]_ B
162	146	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X <_ B <-> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
163	161, 162	rspc 3303	. . . . . 6 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B -> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
164	158, 163	mpan9 486	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ [_ y / x ]_ B )
165	41	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
166	49	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
167	41	lep1d 10955	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
168		lbicc2 12288	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
169	165, 166, 167, 168	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
170		ubicc2 12289	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
171	165, 166, 167, 170	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
172		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( y = k -> ( X x. y ) = ( X x. k ) )
173		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( X x. y ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
174	41, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29	dvle 23770	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
175	53, 174	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
176	2, 3, 38, 175	fsumle 14531	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
177		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
178	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = M -> y e. _V )
179		eqeq2 2633	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
180	179	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
181		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
182	180, 181	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
183	178, 182	csbied 3560	. . 3 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
184	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = N -> y e. _V )
185		eqeq2 2633	. . . . . 6 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
186	185	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
187		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
188	186, 187	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
189	184, 188	csbied 3560	. . 3 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
190	26	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
191	34, 29, 183, 189, 4, 190	telfsumo2 14535	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
192	176, 191	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvfsumge  23785