Theorem dvivthlem1 23771

Description: Lemma for dvivth 23773. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvivth.1	|- ( ph -> M e. ( A (,) B ) )
dvivth.2	|- ( ph -> N e. ( A (,) B ) )
dvivth.3	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
dvivth.4	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
dvivth.5	|- ( ph -> M < N )
dvivth.6	|- ( ph -> C e. ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) )
dvivth.7	|- G = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` y ) - ( C x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvivthlem1	|- ( ph -> E. x e. ( M [,] N ) ( ( RR _D F ) ` x ) = C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y   x, G   x, M, y   x, C, y   x, N, y   ph, x, y

Allowed substitution hint:   G( y)

Proof of Theorem dvivthlem1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 12235	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ RR
2		dvivth.1	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( A (,) B ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
4		dvivth.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( A (,) B ) )
5	1, 4	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
6		dvivth.5	. . . . 5 |- ( ph -> M < N )
7	3, 5, 6	ltled 10185	. . . 4 |- ( ph -> M <_ N )
8		dvivth.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
9		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
12		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
13	10, 1, 12	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
14		dvivth.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
15	4, 14	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. dom ( RR _D F ) )
16	13, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` N ) e. RR )
17	2, 14	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. dom ( RR _D F ) )
18	13, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` M ) e. RR )
19		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` N ) e. RR /\ ( ( RR _D F ) ` M ) e. RR ) -> ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) C_ RR )
20	16, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) C_ RR )
21		dvivth.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
24	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> y e. RR )
26	23, 25	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( C x. y ) e. RR )
27	11, 26	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` y ) - ( C x. y ) ) e. RR )
28		dvivth.7	. . . . . . 7 |- G = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` y ) - ( C x. y ) ) )
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
30		iccssioo2 12246	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( A (,) B ) /\ N e. ( A (,) B ) ) -> ( M [,] N ) C_ ( A (,) B ) )
31	2, 4, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ ( A (,) B ) )
32	29, 31	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( G |` ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
33		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
35		fss 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : ( A (,) B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> G : ( A (,) B ) --> CC )
36	29, 33, 35	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> CC )
37	28	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D G ) = ( RR _D ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` y ) - ( C x. y ) ) ) )
38		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
40	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
41	14	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
42	13, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR )
43	42	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` y ) e. RR )
44	10	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( F ` y ) ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D F ) = ( RR _D ( y e. ( A (,) B ) |-> ( F ` y ) ) ) )
46	42	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D F ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
47	45, 46	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A (,) B ) |-> ( F ` y ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
48	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( C x. y ) e. CC )
49		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ y e. RR ) -> ( C x. y ) e. RR )
50	22, 49	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( C x. y ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( C x. y ) e. CC )
52	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> C e. RR )
53	34	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
54		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
55	39	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
56	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
57	39, 53, 54, 55, 56	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( C x. y ) ) ) = ( y e. RR |-> ( C x. 1 ) ) )
58	56	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C x. 1 ) = C )
59	58	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( C x. 1 ) ) = ( y e. RR |-> C ) )
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( C x. y ) ) ) = ( y e. RR |-> C ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
62	61	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
63		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
65	39, 51, 52, 60, 24, 62, 61, 64	dvmptres 23726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A (,) B ) |-> ( C x. y ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> C ) )
66	39, 40, 43, 47, 48, 23, 65	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` y ) - ( C x. y ) ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) )
67	37, 66	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D G ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) )
68	67	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) = dom ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) )
69		dmmptg 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) e. _V -> dom ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) = ( A (,) B ) )
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) e. _V )
72	69, 71	mprg 2926	. . . . . . . . 9 |- dom ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) = ( A (,) B )
73	68, 72	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
74		dvcn 23684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR C_ CC /\ G : ( A (,) B ) --> CC /\ ( A (,) B ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) ) -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
75	34, 36, 24, 73, 74	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
76		rescncf 22700	. . . . . . 7 |- ( ( M [,] N ) C_ ( A (,) B ) -> ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
77	31, 75, 76	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
78		cncffvrn 22701	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) -> ( ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) <-> ( G |` ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
79	33, 77, 78	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) <-> ( G |` ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
80	32, 79	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( G |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
81	3, 5, 7, 80	evthicc 23228	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( M [,] N ) A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) /\ E. x e. ( M [,] N ) A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) ) )
82	81	simpld 475	. 2 |- ( ph -> E. x e. ( M [,] N ) A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) )
83		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( M [,] N ) -> ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) = ( G ` z ) )
84		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M [,] N ) -> ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) = ( G ` x ) )
85	83, 84	breqan12rd 4670	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( M [,] N ) /\ z e. ( M [,] N ) ) -> ( ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) <-> ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) )
86	85	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( x e. ( M [,] N ) -> ( A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) <-> A. z e. ( M [,] N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) )
87	86	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) <-> A. z e. ( M [,] N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) )
88		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
89		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( ( M (,) N ) C_ ( M [,] N ) -> ( A. z e. ( M [,] N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) )
90	88, 89	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. z e. ( M [,] N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) )
91	87, 90	syl6bi 243	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) )
92	31	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
93	42	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
94	92, 93	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
95	94	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
97	56	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C e. CC )
98	67	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) ` x ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) ` x ) )
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
101	100	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
102		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) )
103		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) e. _V
104	101, 102, 103	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
105	92, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( y e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` y ) - C ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
106	99, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
108	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> RR )
109	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
110		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
111	88, 31	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M (,) N ) C_ ( A (,) B ) )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( M (,) N ) C_ ( A (,) B ) )
113	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
114	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
115	113, 114	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. dom ( RR _D G ) )
116		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) )
117		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( G ` z ) = ( G ` w ) )
118	117	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( G ` z ) <_ ( G ` x ) <-> ( G ` w ) <_ ( G ` x ) ) )
119	118	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) <-> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
120	116, 119	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
121	108, 109, 110, 112, 115, 120	dvferm 23751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = 0 )
122	107, 121	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) = 0 )
123	96, 97, 122	subeq0d 10400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x e. ( M (,) N ) /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C )
124	123	exp32 631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) ) )
125		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
126	125	elpr 4198	. . . . . 6 |- ( x e. { M , N } <-> ( x = M \/ x = N ) )
127	106	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
128	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> RR )
129	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
130		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x = M )
131		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( A (,) B ) -> ( A < M /\ M < B ) )
132	2, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A < M /\ M < B ) )
133	132	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A < M )
134		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( A (,) B ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
135		ndmioo 12202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = (/) )
136	135	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
137	2, 134, 136	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
138	137	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
139	5	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR* )
140		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ N e. RR* ) -> ( M e. ( A (,) N ) <-> ( M e. RR /\ A < M /\ M < N ) ) )
141	138, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M e. ( A (,) N ) <-> ( M e. RR /\ A < M /\ M < N ) ) )
142	3, 133, 6, 141	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( A (,) N ) )
143	142	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> M e. ( A (,) N ) )
144	130, 143	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( A (,) N ) )
145	137	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
146		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( A (,) B ) -> ( A < N /\ N < B ) )
147	4, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A < N /\ N < B ) )
148	147	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N < B )
149		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( N < B -> N <_ B ) )
150	139, 145, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N < B -> N <_ B ) )
151	148, 150	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N <_ B )
152		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ N <_ B ) -> ( A (,) N ) C_ ( A (,) B ) )
153	145, 151, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) N ) C_ ( A (,) B ) )
154	153	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A (,) N ) C_ ( A (,) B ) )
155	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
156	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
157	155, 156	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. dom ( RR _D G ) )
158		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) )
159	158, 119	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
160	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( x (,) N ) = ( M (,) N ) )
161	160	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A. w e. ( x (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) <-> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) ) )
162	159, 161	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. w e. ( x (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
163	128, 129, 144, 154, 157, 162	dvferm1 23748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) <_ 0 )
164	127, 163	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) <_ 0 )
165	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
166	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C e. RR )
167	165, 166	suble0d 10618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) <_ 0 <-> ( ( RR _D F ) ` x ) <_ C ) )
168	164, 167	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) <_ C )
169		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( RR _D F ) ` N ) e. RR /\ ( ( RR _D F ) ` M ) e. RR ) -> ( C e. ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) <-> ( C e. RR /\ ( ( RR _D F ) ` N ) <_ C /\ C <_ ( ( RR _D F ) ` M ) ) ) )
170	16, 18, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C e. ( ( ( RR _D F ) ` N ) [,] ( ( RR _D F ) ` M ) ) <-> ( C e. RR /\ ( ( RR _D F ) ` N ) <_ C /\ C <_ ( ( RR _D F ) ` M ) ) ) )
171	21, 170	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( ( RR _D F ) ` N ) <_ C /\ C <_ ( ( RR _D F ) ` M ) ) )
172	171	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C <_ ( ( RR _D F ) ` M ) )
173	172	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C <_ ( ( RR _D F ) ` M ) )
174	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` M ) )
175	173, 174	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C <_ ( ( RR _D F ) ` x ) )
176	165, 166	letri3d 10179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = C <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) <_ C /\ C <_ ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) )
177	168, 175, 176	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = M /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C )
178	177	exp32 631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( x = M -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) ) )
179		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x = N )
180	179	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` N ) )
181	171	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` N ) <_ C )
182	181	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` N ) <_ C )
183	180, 182	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) <_ C )
184	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> RR )
185	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
186	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR* )
187		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( N e. ( M (,) B ) <-> ( N e. RR /\ M < N /\ N < B ) ) )
188	186, 145, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. ( M (,) B ) <-> ( N e. RR /\ M < N /\ N < B ) ) )
189	5, 6, 148, 188	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( M (,) B ) )
190	189	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> N e. ( M (,) B ) )
191	179, 190	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( M (,) B ) )
192		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ M e. RR* ) -> ( A < M -> A <_ M ) )
193	138, 186, 192	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < M -> A <_ M ) )
194	133, 193	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ M )
195		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ M ) -> ( M (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
196	138, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
197	196	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( M (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
198	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
199	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
200	198, 199	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> x e. dom ( RR _D G ) )
201		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) )
202	201, 119	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
203	179	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( M (,) x ) = ( M (,) N ) )
204	203	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( A. w e. ( M (,) x ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) <-> A. w e. ( M (,) N ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) ) )
205	202, 204	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> A. w e. ( M (,) x ) ( G ` w ) <_ ( G ` x ) )
206	184, 185, 191, 197, 200, 205	dvferm2 23750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( RR _D G ) ` x ) )
207	106	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D G ) ` x ) = ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
208	206, 207	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) )
209	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
210	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C e. RR )
211	209, 210	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( ( RR _D F ) ` x ) - C ) <-> C <_ ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
212	208, 211	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> C <_ ( ( RR _D F ) ` x ) )
213	209, 210	letri3d 10179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = C <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) <_ C /\ C <_ ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) )
214	183, 212, 213	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) /\ ( x = N /\ A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C )
215	214	exp32 631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( x = N -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) ) )
216	178, 215	jaod 395	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( x = M \/ x = N ) -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) ) )
217	126, 216	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( x e. { M , N } -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) ) )
218		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( M (,) N ) u. { M , N } ) <-> ( x e. ( M (,) N ) \/ x e. { M , N } ) )
219		prunioo 12301	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> ( ( M (,) N ) u. { M , N } ) = ( M [,] N ) )
220	186, 139, 7, 219	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M (,) N ) u. { M , N } ) = ( M [,] N ) )
221	220	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ( M (,) N ) u. { M , N } ) <-> x e. ( M [,] N ) ) )
222	218, 221	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( M (,) N ) \/ x e. { M , N } ) <-> x e. ( M [,] N ) ) )
223	222	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) \/ x e. { M , N } ) )
224	124, 217, 223	mpjaod 396	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( A. z e. ( M (,) N ) ( G ` z ) <_ ( G ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) )
225	91, 224	syld 47	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) )
226	225	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( M [,] N ) A. z e. ( M [,] N ) ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` z ) <_ ( ( G |` ( M [,] N ) ) ` x ) -> E. x e. ( M [,] N ) ( ( RR _D F ) ` x ) = C ) )
227	82, 226	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. ( M [,] N ) ( ( RR _D F ) ` x ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvivthlem2  23772