Theorem cncffvrn 22701

Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncffvrn	|- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Proof of Theorem cncffvrn

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 22694	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
3		simpl 473	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
4		elcncf2 22693	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ C C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
6		cncfi 22697	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ x e. A /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
7	6	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
8	7	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
9	8	adantl 482	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
10	9	biantrud 528	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> C <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
11	5, 10	bitr4d 271	1 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-abs 13976  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  cncfss  22702  cncfmpt2ss  22718  rolle  23753  dvlipcn  23757  c1lip2  23761  dvivthlem1  23771  dvivth  23773  lhop1lem  23776  dvcnvrelem2  23781  dvfsumlem2  23790  itgsubstlem  23811  efcvx  24203  dvrelog  24383  relogcn  24384  logcn  24393  dvlog  24397  logccv  24409  resqrtcn  24490  loglesqrt  24499  lgamgulmlem2  24756  rpsqrtcn  30671  fdvneggt  30678  fdvnegge  30680  logdivsqrle  30728  knoppcn2  32527  areacirclem4  33503  cncfres  33564  cncfmptssg  40083  resincncf  40088  cncfcompt  40096  cncfiooiccre  40108  dvdivcncf  40142  dvbdfbdioolem1  40143  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  itgsbtaddcnst  40198  fourierdlem58  40381  fourierdlem59  40382  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  fourierdlem101  40424  fourierdlem112  40435  fouriercn  40449