Theorem hgt750lem 30729

Description: Lemma for tgoldbachgtd 30740. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lem	|- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) )

Proof of Theorem hgt750lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn0 11314	. . . . 5 |- 7 e. NN0
2		3re 11094	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
3		4re 11097	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
4		8re 11105	. . . . . . . . 9 |- 8 e. RR
5	3, 4	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 8 e. RR )
6		dp2cl 29587	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 e. RR /\ 8 e. RR ) -> _ 4 8 e. RR )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- _ 4 8 e. RR
8	2, 7	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 3 e. RR /\ _ 4 8 e. RR )
9		dp2cl 29587	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ _ 4 8 e. RR ) -> _ 3_ 4 8 e. RR )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- _ 3_ 4 8 e. RR
11		dpcl 29598	. . . . 5 |- ( ( 7 e. NN0 /\ _ 3_ 4 8 e. RR ) -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR )
12	1, 10, 11	mp2an 708	. . . 4 |- ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR )
14		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> N e. RR )
16		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 e. RR )
18		10re 11517	. . . . . . . . 9 |- ; 1 0 e. RR
19		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
20	19, 1	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ; 2 7 e. NN0
21		reexpcl 12877	. . . . . . . . 9 |- ( (; 1 0 e. RR /\ ; 2 7 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR )
22	18, 20, 21	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR )
24		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
25		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
26		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
27		1nn0 11308	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
28		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
29		9re 11107	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
30		1lt9 11229	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 9
31	28, 29, 30	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 9
32	25, 26, 27, 31	declei 11542	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ ; 1 0
33		expge1 12897	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 0 e. RR /\ ; 2 7 e. NN0 /\ 1 <_ ; 1 0 ) -> 1 <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
34	18, 20, 32, 33	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ (; 1 0 ^; 2 7 )
35	16, 28, 22	ltletri 10165	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) ) -> 0 < (; 1 0 ^; 2 7 ) )
36	24, 34, 35	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- 0 < (; 1 0 ^; 2 7 )
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 < (; 1 0 ^; 2 7 ) )
38		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
39	17, 23, 15, 37, 38	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 < N )
40	15, 39	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> N e. RR+ )
41	40	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( log ` N ) e. RR )
42	40	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 <_ N )
43	15, 42	resqrtcld 14156	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( sqr ` N ) e. RR )
44	40	sqrtgt0d 14151	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 < ( sqr ` N ) )
45	17, 44	gtned 10172	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( sqr ` N ) =/= 0 )
46	41, 43, 45	redivcld 10853	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) e. RR )
47	13, 46	remulcld 10070	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) e. RR )
48		elrp 11834	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+ <-> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
49	22, 36, 48	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+
50		relogcl 24322	. . . . . 6 |- ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+ -> ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR
52	22, 36	sqrtpclii 14122	. . . . 5 |- ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR
53	22, 36	sqrtgt0ii 14123	. . . . . 6 |- 0 < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) )
54	16, 53	gtneii 10149	. . . . 5 |- ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) =/= 0
55	51, 52, 54	redivcli 10792	. . . 4 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) e. RR
56	55	a1i 11	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) e. RR )
57	13, 56	remulcld 10070	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) e. RR )
58		qssre 11798	. . . . 5 |- QQ C_ RR
59		4nn0 11311	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
60		nn0ssq 11796	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ QQ
61		8nn0 11315	. . . . . . . . . . . . 13 |- 8 e. NN0
62	60, 61	sselii 3600	. . . . . . . . . . . 12 |- 8 e. QQ
63	59, 62	dp2clq 29588	. . . . . . . . . . 11 |- _ 4 8 e. QQ
64	19, 63	dp2clq 29588	. . . . . . . . . 10 |- _ 2_ 4 8 e. QQ
65	19, 64	dp2clq 29588	. . . . . . . . 9 |- _ 2_ 2_ 4 8 e. QQ
66	59, 65	dp2clq 29588	. . . . . . . 8 |- _ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. QQ
67	26, 66	dp2clq 29588	. . . . . . 7 |- _ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. QQ
68	26, 67	dp2clq 29588	. . . . . 6 |- _ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. QQ
69	26, 68	dp2clq 29588	. . . . 5 |- _ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. QQ
70	58, 69	sselii 3600	. . . 4 |- _ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. RR
71		dpcl 29598	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ _ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. RR ) -> ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) e. RR )
72	26, 70, 71	mp2an 708	. . 3 |- ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) e. RR
73	72	a1i 11	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) e. RR )
74		3nn0 11310	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
75		8pos 11121	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 8
76		elrp 11834	. . . . . . . . . . 11 |- ( 8 e. RR+ <-> ( 8 e. RR /\ 0 < 8 ) )
77	4, 75, 76	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. RR+
78	59, 77	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . 9 |- _ 4 8 e. RR+
79	74, 78	rpdp2cl 29589	. . . . . . . 8 |- _ 3_ 4 8 e. RR+
80	1, 79	rpdpcl 29611	. . . . . . 7 |- ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR+
81		elrp 11834	. . . . . . 7 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR+ <-> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR /\ 0 < ( 7 period_ 3_ 4 8 ) ) )
82	80, 81	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR /\ 0 < ( 7 period_ 3_ 4 8 ) )
83	82	simpri 478	. . . . 5 |- 0 < ( 7 period_ 3_ 4 8 )
84	16, 12, 83	ltleii 10160	. . . 4 |- 0 <_ ( 7 period_ 3_ 4 8 )
85	84	a1i 11	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> 0 <_ ( 7 period_ 3_ 4 8 ) )
86	49	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+ )
87		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
88	87	mulid2i 10043	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 2 ) = 2
89		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
90	89, 1, 27, 31	declei 11542	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ ; 2 7
91		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
92	20	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 2 7 e. RR
93		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
94	28, 92, 93	lemul1i 10946	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < 2 -> ( 1 <_ ; 2 7 <-> ( 1 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. 2 ) ) )
95	91, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 <_ ; 2 7 <-> ( 1 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. 2 ) )
96	90, 95	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. 2 )
97	88, 96	eqbrtrri 4676	. . . . . . . 8 |- 2 <_ (; 2 7 x. 2 )
98		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 1 ) = 2
99		loge 24333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` _e ) = 1
100		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
101	100	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e < 3
102		epr 14936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. RR+
103		3rp 11838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR+
104		logltb 24346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _e e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( _e < 3 <-> ( log ` _e ) < ( log ` 3 ) ) )
105	102, 103, 104	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _e < 3 <-> ( log ` _e ) < ( log ` 3 ) )
106	101, 105	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` _e ) < ( log ` 3 )
107	99, 106	eqbrtrri 4676	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ( log ` 3 )
108		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
109	103, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 3 ) e. RR
110	28, 28, 109, 109	lt2addi 10590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 < ( log ` 3 ) /\ 1 < ( log ` 3 ) ) -> ( 1 + 1 ) < ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) )
111	107, 107, 110	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 1 ) < ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) )
112		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. CC
113		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 =/= 0
114		logmul2 24362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 /\ 3 e. RR+ ) -> ( log ` ( 3 x. 3 ) ) = ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) )
115	112, 113, 103, 114	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` ( 3 x. 3 ) ) = ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) )
116		3t3e9 11180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 3 ) = 9
117	116	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` ( 3 x. 3 ) ) = ( log ` 9 )
118		9lt10 11673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 9 < ; 1 0
119	29, 18, 118	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 9 <_ ; 1 0
120		9pos 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 9
121		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 9 e. RR+ <-> ( 9 e. RR /\ 0 < 9 ) )
122	29, 120, 121	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 9 e. RR+
123		10pos 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < ; 1 0
124		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (; 1 0 e. RR+ <-> (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) )
125	18, 123, 124	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 1 0 e. RR+
126		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 9 e. RR+ /\ ; 1 0 e. RR+ ) -> ( 9 <_ ; 1 0 <-> ( log ` 9 ) <_ ( log ` ; 1 0 ) ) )
127	122, 125, 126	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 9 <_ ; 1 0 <-> ( log ` 9 ) <_ ( log ` ; 1 0 ) )
128	119, 127	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 9 ) <_ ( log ` ; 1 0 )
129	117, 128	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` ( 3 x. 3 ) ) <_ ( log ` ; 1 0 )
130	115, 129	eqbrtrri 4676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) <_ ( log ` ; 1 0 )
131	28, 28	readdcli 10053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) e. RR
132	109, 109	readdcli 10053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) e. RR
133		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 1 0 e. RR+ -> ( log ` ; 1 0 ) e. RR )
134	125, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` ; 1 0 ) e. RR
135	131, 132, 134	ltletri 10165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 + 1 ) < ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) /\ ( ( log ` 3 ) + ( log ` 3 ) ) <_ ( log ` ; 1 0 ) ) -> ( 1 + 1 ) < ( log ` ; 1 0 ) )
136	111, 130, 135	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 1 ) < ( log ` ; 1 0 )
137	98, 136	eqbrtrri 4676	. . . . . . . . . 10 |- 2 < ( log ` ; 1 0 )
138	93, 134	ltlei 10159	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < ( log ` ; 1 0 ) -> 2 <_ ( log ` ; 1 0 ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ ( log ` ; 1 0 )
140	16, 29, 120	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 9
141	89, 1, 26, 140	decltdi 11547	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ; 2 7
142	93, 134, 92	lemul2i 10947	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 < ; 2 7 -> ( 2 <_ ( log ` ; 1 0 ) <-> (; 2 7 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) ) )
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ ( log ` ; 1 0 ) <-> (; 2 7 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) )
144	139, 143	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- (; 2 7 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) )
145	92, 93	remulcli 10054	. . . . . . . . 9 |- (; 2 7 x. 2 ) e. RR
146	20	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . 11 |- ; 2 7 e. ZZ
147		relogexp 24342	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 e. RR+ /\ ; 2 7 e. ZZ ) -> ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) = (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) )
148	125, 146, 147	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) = (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) )
149	148, 51	eqeltrri 2698	. . . . . . . . 9 |- (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) e. RR
150	93, 145, 149	letri 10166	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 <_ (; 2 7 x. 2 ) /\ (; 2 7 x. 2 ) <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) ) -> 2 <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) )
151	97, 144, 150	mp2an 708	. . . . . . 7 |- 2 <_ (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) )
152		relogef 24329	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( log ` ( exp ` 2 ) ) = 2 )
153	93, 152	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( log ` ( exp ` 2 ) ) = 2
154	151, 153, 148	3brtr4i 4683	. . . . . 6 |- ( log ` ( exp ` 2 ) ) <_ ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) )
155		rpefcl 14834	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR -> ( exp ` 2 ) e. RR+ )
156	93, 155	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( exp ` 2 ) e. RR+
157		logleb 24349	. . . . . . 7 |- ( ( ( exp ` 2 ) e. RR+ /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+ ) -> ( ( exp ` 2 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) <-> ( log ` ( exp ` 2 ) ) <_ ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) )
158	156, 49, 157	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( exp ` 2 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) <-> ( log ` ( exp ` 2 ) ) <_ ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
159	154, 158	mpbir 221	. . . . 5 |- ( exp ` 2 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 )
160	159	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( exp ` 2 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
161	86, 40, 160, 38	logdivsqrle 30728	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) <_ ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) )
162	46, 56, 13, 85, 161	lemul2ad 10964	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) <_ ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) )
163		3lt10 11679	. . . . . . . 8 |- 3 < ; 1 0
164		4lt10 11678	. . . . . . . . 9 |- 4 < ; 1 0
165		8lt10 11674	. . . . . . . . 9 |- 8 < ; 1 0
166	59, 77, 164, 165	dp2lt10 29591	. . . . . . . 8 |- _ 4 8 < ; 1 0
167	74, 78, 163, 166	dp2lt10 29591	. . . . . . 7 |- _ 3_ 4 8 < ; 1 0
168		7p1e8 11157	. . . . . . 7 |- ( 7 + 1 ) = 8
169	1, 79, 61, 167, 168	dplti 29613	. . . . . 6 |- ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < 8
170	58, 62	sselii 3600	. . . . . . 7 |- 8 e. RR
171	12, 170, 18	lttri 10163	. . . . . 6 |- ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < 8 /\ 8 < ; 1 0 ) -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < ; 1 0 )
172	169, 165, 171	mp2an 708	. . . . 5 |- ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < ; 1 0
173	27, 26	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 0 e. NN0
174	173	numexp0 15780	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^ 0 ) = 1
175		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
176	18, 175, 146	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 e. RR /\ 0 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ )
177		1lt10 11681	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < ; 1 0
178	177, 141	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 < ; 1 0 /\ 0 < ; 2 7 )
179		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (; 1 0 e. RR /\ 0 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ ) /\ ( 1 < ; 1 0 /\ 0 < ; 2 7 ) ) -> (; 1 0 ^ 0 ) < (; 1 0 ^; 2 7 ) )
180	176, 178, 179	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^ 0 ) < (; 1 0 ^; 2 7 )
181	174, 180	eqbrtrri 4676	. . . . . . . 8 |- 1 < (; 1 0 ^; 2 7 )
182		loggt0b 24378	. . . . . . . . 9 |- ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR+ -> ( 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) <-> 1 < (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
183	49, 182	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) <-> 1 < (; 1 0 ^; 2 7 ) )
184	181, 183	mpbir 221	. . . . . . 7 |- 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) )
185	51, 52	divgt0i 10932	. . . . . . 7 |- ( ( 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) /\ 0 < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) -> 0 < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) )
186	184, 53, 185	mp2an 708	. . . . . 6 |- 0 < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
187	12, 18, 55	ltmul1i 10942	. . . . . 6 |- ( 0 < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < ; 1 0 <-> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) ) )
188	186, 187	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) < ; 1 0 <-> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) )
189	172, 188	mpbi 220	. . . 4 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) )
190	18	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 e. CC
191		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (; 1 0 e. CC /\ 7 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^ ( 7 x. 2 ) ) = ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 ) )
192	190, 1, 19, 191	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^ ( 7 x. 2 ) ) = ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 )
193		7t2e14 11648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
194	193	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^ ( 7 x. 2 ) ) = (; 1 0 ^; 1 4 )
195	192, 194	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 ) = (; 1 0 ^; 1 4 )
196	195	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` (; 1 0 ^; 1 4 ) )
197		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 7 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^ 7 ) e. RR )
198	18, 1, 197	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 ^ 7 ) e. RR
199	1	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. ZZ
200		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 7 e. ZZ /\ 0 < ; 1 0 ) -> 0 < (; 1 0 ^ 7 ) )
201	18, 199, 123, 200	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < (; 1 0 ^ 7 )
202	16, 198, 201	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ (; 1 0 ^ 7 )
203		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (; 1 0 ^ 7 ) e. RR /\ 0 <_ (; 1 0 ^ 7 ) ) -> ( sqr ` ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 ) ) = (; 1 0 ^ 7 ) )
204	198, 202, 203	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( (; 1 0 ^ 7 ) ^ 2 ) ) = (; 1 0 ^ 7 )
205	196, 204	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` (; 1 0 ^; 1 4 ) ) = (; 1 0 ^ 7 )
206	27, 59	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 4 e. NN0
207	206	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 4 e. ZZ
208	18, 207, 146	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 e. RR /\ ; 1 4 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ )
209		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 2
210	27, 19, 59, 1, 164, 209	decltc 11532	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 4 < ; 2 7
211	177, 210	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < ; 1 0 /\ ; 1 4 < ; 2 7 )
212		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (; 1 0 e. RR /\ ; 1 4 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ ) /\ ( 1 < ; 1 0 /\ ; 1 4 < ; 2 7 ) ) -> (; 1 0 ^; 1 4 ) < (; 1 0 ^; 2 7 ) )
213	208, 211, 212	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 ^; 1 4 ) < (; 1 0 ^; 2 7 )
214		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (; 1 0 e. RR /\ ; 1 4 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^; 1 4 ) e. RR )
215	18, 206, 214	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 ^; 1 4 ) e. RR
216		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (; 1 0 e. RR /\ ; 1 4 e. ZZ /\ 0 < ; 1 0 ) -> 0 < (; 1 0 ^; 1 4 ) )
217	18, 207, 123, 216	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < (; 1 0 ^; 1 4 )
218	16, 215, 217	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ (; 1 0 ^; 1 4 )
219	215, 218	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 ^; 1 4 ) e. RR /\ 0 <_ (; 1 0 ^; 1 4 ) )
220	16, 22, 36	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ (; 1 0 ^; 2 7 )
221	22, 220	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR /\ 0 <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
222		sqrtlt 14002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (; 1 0 ^; 1 4 ) e. RR /\ 0 <_ (; 1 0 ^; 1 4 ) ) /\ ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR /\ 0 <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) -> ( (; 1 0 ^; 1 4 ) < (; 1 0 ^; 2 7 ) <-> ( sqr ` (; 1 0 ^; 1 4 ) ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) )
223	219, 221, 222	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 0 ^; 1 4 ) < (; 1 0 ^; 2 7 ) <-> ( sqr ` (; 1 0 ^; 1 4 ) ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
224	213, 223	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` (; 1 0 ^; 1 4 ) ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) )
225	205, 224	eqbrtrri 4676	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^ 7 ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) )
226	198, 201	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( (; 1 0 ^ 7 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^ 7 ) )
227	52, 53	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
228	51, 184	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR /\ 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
229		ltdiv2 10909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (; 1 0 ^ 7 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^ 7 ) ) /\ ( ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) /\ ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) e. RR /\ 0 < ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) -> ( (; 1 0 ^ 7 ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) ) )
230	226, 227, 228, 229	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( (; 1 0 ^ 7 ) < ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) )
231	225, 230	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) )
232		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. NN
233	232	nngt0i 11054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 6
234	27, 26, 232, 233	declt 11530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 < ; 1 6
235		6nn0 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. NN0
236	27, 235	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 1 6 e. NN0
237	236	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 1 6 e. RR
238	25, 235, 26, 123	declti 11546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < ; 1 6
239		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (; 1 6 e. RR+ <-> (; 1 6 e. RR /\ 0 < ; 1 6 ) )
240	237, 238, 239	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ; 1 6 e. RR+
241		logltb 24346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (; 1 0 e. RR+ /\ ; 1 6 e. RR+ ) -> (; 1 0 < ; 1 6 <-> ( log ` ; 1 0 ) < ( log ` ; 1 6 ) ) )
242	125, 240, 241	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 1 0 < ; 1 6 <-> ( log ` ; 1 0 ) < ( log ` ; 1 6 ) )
243	234, 242	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ; 1 0 ) < ( log ` ; 1 6 )
244		2exp4 15794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ^ 4 ) = ; 1 6
245	244	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` ( 2 ^ 4 ) ) = ( log ` ; 1 6 )
246		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
247	59	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
248		relogexp 24342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( log ` ( 2 ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` 2 ) ) )
249	246, 247, 248	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` ( 2 ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` 2 ) )
250	245, 249	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ; 1 6 ) = ( 4 x. ( log ` 2 ) )
251	243, 250	breqtri 4678	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` ; 1 0 ) < ( 4 x. ( log ` 2 ) )
252	100	simpli 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < _e
253		logltb 24346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. RR+ /\ _e e. RR+ ) -> ( 2 < _e <-> ( log ` 2 ) < ( log ` _e ) ) )
254	246, 102, 253	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 < _e <-> ( log ` 2 ) < ( log ` _e ) )
255	252, 254	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 2 ) < ( log ` _e )
256	255, 99	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` 2 ) < 1
257		4pos 11116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
258		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
259	246, 258	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( log ` 2 ) e. RR
260	259, 28, 3	ltmul2i 10945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 < 4 -> ( ( log ` 2 ) < 1 <-> ( 4 x. ( log ` 2 ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
261	257, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( log ` 2 ) < 1 <-> ( 4 x. ( log ` 2 ) ) < ( 4 x. 1 ) )
262	256, 261	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. ( log ` 2 ) ) < ( 4 x. 1 )
263		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
264	263	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. 1 ) = 4
265	262, 264	breqtri 4678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 x. ( log ` 2 ) ) < 4
266	3, 259	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. ( log ` 2 ) ) e. RR
267	134, 266, 3	lttri 10163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( log ` ; 1 0 ) < ( 4 x. ( log ` 2 ) ) /\ ( 4 x. ( log ` 2 ) ) < 4 ) -> ( log ` ; 1 0 ) < 4 )
268	251, 265, 267	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` ; 1 0 ) < 4
269	134, 3, 92	ltmul2i 10945	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < ; 2 7 -> ( ( log ` ; 1 0 ) < 4 <-> (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) < (; 2 7 x. 4 ) ) )
270	141, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log ` ; 1 0 ) < 4 <-> (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) < (; 2 7 x. 4 ) )
271	268, 270	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- (; 2 7 x. ( log ` ; 1 0 ) ) < (; 2 7 x. 4 )
272	148, 271	eqbrtri 4674	. . . . . . . 8 |- ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) < (; 2 7 x. 4 )
273	92, 3	remulcli 10054	. . . . . . . . . 10 |- (; 2 7 x. 4 ) e. RR
274	51, 273, 198	ltdiv1i 10943	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < (; 1 0 ^ 7 ) -> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) < (; 2 7 x. 4 ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) ) )
275	201, 274	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) < (; 2 7 x. 4 ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) )
276	272, 275	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) )
277	16, 201	gtneii 10149	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^ 7 ) =/= 0
278	51, 198, 277	redivcli 10792	. . . . . . . 8 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR
279	273, 198, 277	redivcli 10792	. . . . . . . 8 |- ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR
280	55, 278, 279	lttri 10163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) /\ ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) ) -> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) )
281	231, 276, 280	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) )
282		7lt10 11675	. . . . . . . . . 10 |- 7 < ; 1 0
283		2lt10 11680	. . . . . . . . . 10 |- 2 < ; 1 0
284	19, 173, 1, 26, 282, 283	decltc 11532	. . . . . . . . 9 |- ; 2 7 < ;; 1 0 0
285		10nn 11514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 e. NN
286	285	decnncl2 11525	. . . . . . . . . . . 12 |- ;; 1 0 0 e. NN
287	286	nnrei 11029	. . . . . . . . . . 11 |- ;; 1 0 0 e. RR
288	92, 287, 3	ltmul1i 10942	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 < 4 -> (; 2 7 < ;; 1 0 0 <-> (; 2 7 x. 4 ) < (;; 1 0 0 x. 4 ) ) )
289	257, 288	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (; 2 7 < ;; 1 0 0 <-> (; 2 7 x. 4 ) < (;; 1 0 0 x. 4 ) )
290	284, 289	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- (; 2 7 x. 4 ) < (;; 1 0 0 x. 4 )
291	287, 3	remulcli 10054	. . . . . . . . . 10 |- (;; 1 0 0 x. 4 ) e. RR
292	273, 291, 198	ltdiv1i 10943	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < (; 1 0 ^ 7 ) -> ( (; 2 7 x. 4 ) < (;; 1 0 0 x. 4 ) <-> ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) ) )
293	201, 292	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( (; 2 7 x. 4 ) < (;; 1 0 0 x. 4 ) <-> ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) )
294	290, 293	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) )
295		8nn 11191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. NN
296		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 8 e. NN -> 8 e. RR+ )
297	295, 296	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 8 e. RR+
298	59, 297	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . . 13 |- _ 4 8 e. RR+
299	19, 298	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . 12 |- _ 2_ 4 8 e. RR+
300	19, 299	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . 11 |- _ 2_ 2_ 4 8 e. RR+
301	59, 300	dpgti 29614	. . . . . . . . . 10 |- 4 < ( 4 period_ 2_ 2_ 4 8 )
302	72	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) e. CC
303	198	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 1 0 ^ 7 ) e. CC
304	302, 303	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) e. CC
305	16, 123	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 1 0 =/= 0
306	190, 305	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 )
307	287	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ;; 1 0 0 e. CC
308	286	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ;; 1 0 0 =/= 0
309	307, 308	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 )
310		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) e. CC /\ (; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 ) /\ (;; 1 0 0 e. CC /\ ;; 1 0 0 =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ; 1 0 ) / ;; 1 0 0 ) = ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) )
311	304, 306, 309, 310	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ; 1 0 ) / ;; 1 0 0 ) = ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) )
312	302, 303, 190, 305	div23i 10783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ; 1 0 ) = ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) )
313	312	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ; 1 0 ) / ;; 1 0 0 ) = ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ;; 1 0 0 )
314	190, 307	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) e. CC
315	190, 307, 305, 308	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) =/= 0
316	302, 303, 314, 315	divassi 10781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) )
317		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (; 1 0 e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^ ( 2 + 1 ) ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. ; 1 0 ) )
318	190, 19, 317	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (; 1 0 ^ ( 2 + 1 ) ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. ; 1 0 )
319		sq10 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (; 1 0 ^ 2 ) = ;; 1 0 0
320	319	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (; 1 0 ^ 2 ) x. ; 1 0 ) = (;; 1 0 0 x. ; 1 0 )
321	307, 190	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (;; 1 0 0 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 x. ;; 1 0 0 )
322	318, 320, 321	3eqtrri 2649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) = (; 1 0 ^ ( 2 + 1 ) )
323		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 + 1 ) = 3
324	323	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (; 1 0 ^ ( 2 + 1 ) ) = (; 1 0 ^ 3 )
325	322, 324	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) = (; 1 0 ^ 3 )
326	325	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) = ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 ^ 3 ) )
327	74	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ZZ
328	199, 327	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 e. ZZ /\ 3 e. ZZ )
329		expsub 12908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (; 1 0 e. CC /\ ; 1 0 =/= 0 ) /\ ( 7 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) ) -> (; 1 0 ^ ( 7 - 3 ) ) = ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 ^ 3 ) ) )
330	306, 328, 329	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 1 0 ^ ( 7 - 3 ) ) = ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 ^ 3 ) )
331		7cn 11104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 7 e. CC
332		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 + 3 ) = 7
333	263, 112, 332	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 + 4 ) = 7
334	331, 112, 263, 333	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 - 3 ) = 4
335	334	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 1 0 ^ ( 7 - 3 ) ) = (; 1 0 ^ 4 )
336	326, 330, 335	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) = (; 1 0 ^ 4 )
337	336	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( (; 1 0 ^ 7 ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 4 ) )
338	173	numexp1 15781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 1 0 ^ 1 ) = ; 1 0
339	338	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 period_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 1 ) ) = ( ( 0 period_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ; 1 0 )
340	59, 300	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. RR+
341	25	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
342	89	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
343	26, 340, 98, 341, 342	dpexpp1 29616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 period_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 1 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 2 ) )
344	26, 340	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. RR+
345	26, 344, 323, 342, 327	dpexpp1 29616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 period_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 2 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 3 ) )
346	26, 344	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 e. RR+
347		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 + 1 ) = 4
348	26, 346, 347, 327, 247	dpexpp1 29616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 period_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 3 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 4 ) )
349	343, 345, 348	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 period_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 1 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 4 ) )
350	59, 300	0dp2dp 29617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 period_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ; 1 0 ) = ( 4 period_ 2_ 2_ 4 8 )
351	339, 349, 350	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 4 ) ) = ( 4 period_ 2_ 2_ 4 8 )
352	316, 337, 351	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / (; 1 0 x. ;; 1 0 0 ) ) = ( 4 period_ 2_ 2_ 4 8 )
353	311, 313, 352	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ;; 1 0 0 ) = ( 4 period_ 2_ 2_ 4 8 )
354	301, 353	breqtrri 4680	. . . . . . . . 9 |- 4 < ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ;; 1 0 0 )
355	72, 18, 305	redivcli 10792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) e. RR
356	355, 198	remulcli 10054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR
357	286	nngt0i 11054	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ;; 1 0 0
358	287, 357	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- (;; 1 0 0 e. RR /\ 0 < ;; 1 0 0 )
359		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR /\ (;; 1 0 0 e. RR /\ 0 < ;; 1 0 0 ) ) -> ( (;; 1 0 0 x. 4 ) < ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) <-> 4 < ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ;; 1 0 0 ) ) )
360	3, 356, 358, 359	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( (;; 1 0 0 x. 4 ) < ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) <-> 4 < ( ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) / ;; 1 0 0 ) )
361	354, 360	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- (;; 1 0 0 x. 4 ) < ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) )
362		ltdivmul2 10900	. . . . . . . . 9 |- ( ( (;; 1 0 0 x. 4 ) e. RR /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) e. RR /\ ( (; 1 0 ^ 7 ) e. RR /\ 0 < (; 1 0 ^ 7 ) ) ) -> ( ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) <-> (;; 1 0 0 x. 4 ) < ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) ) )
363	291, 355, 226, 362	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) <-> (;; 1 0 0 x. 4 ) < ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) x. (; 1 0 ^ 7 ) ) )
364	361, 363	mpbir 221	. . . . . . 7 |- ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 )
365	291, 198, 277	redivcli 10792	. . . . . . . 8 |- ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR
366	279, 365, 355	lttri 10163	. . . . . . 7 |- ( ( ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) /\ ( (;; 1 0 0 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) ) -> ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) )
367	294, 364, 366	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 )
368	226	simpli 474	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^ 7 ) e. RR
369	273, 368, 277	redivcli 10792	. . . . . . 7 |- ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) e. RR
370	55, 369, 355	lttri 10163	. . . . . 6 |- ( ( ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) /\ ( (; 2 7 x. 4 ) / (; 1 0 ^ 7 ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) ) -> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) )
371	281, 367, 370	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 )
372	125, 124	mpbi 220	. . . . . 6 |- (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 )
373		ltmuldiv2 10897	. . . . . 6 |- ( ( ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) e. RR /\ ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) e. RR /\ (; 1 0 e. RR /\ 0 < ; 1 0 ) ) -> ( (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) ) )
374	55, 72, 372, 373	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) <-> ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) < ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) / ; 1 0 ) )
375	371, 374	mpbir 221	. . . 4 |- (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 )
376	12, 55	remulcli 10054	. . . . 5 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) e. RR
377	18, 55	remulcli 10054	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) e. RR
378	376, 377, 72	lttri 10163	. . . 4 |- ( ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) /\ (; 1 0 x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) )
379	189, 375, 378	mp2an 708	. . 3 |- ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 )
380	379	a1i 11	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) / ( sqr ` (; 1 0 ^; 2 7 ) ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) )
381	47, 57, 73, 162, 380	lelttrd 10195	1 |- ( ( N e. NN0 /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) < ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  _cdp2 29577   periodcdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  30738