Theorem pntlemk 25295

Description: Lemma for pnt 25303. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemk	|- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, n, z, u, L   n, K, y, z   n, M, z   ph, n   n, N, z   R, n, u, y, z   U, n, z   n, W, z   n, X, y, z   n, Y, z   n, a, u, y, z, E   n, Z, u, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, a)   A( y, z, u, n, a)   B( y, z, u, n, a)   C( y, u, n, a)   D( y, z, u, n, a)   R( a)   U( y, u, a)   F( y, z, u, n, a)   K( u, a)   L( a)   M( y, u, a)   N( y, u, a)   W( y, u, a)   X( u, a)   Y( y, u, a)   Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
2		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
3		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
5	4	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
6	5	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
7	6, 4	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( log ` n ) / n ) e. RR )
8	2, 7	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) e. RR )
9		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) e. RR )
10	1, 8, 9	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) e. RR )
11		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR+ )
13		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR+ )
14		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
15		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( A + 1 )
16		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
17		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR+ )
18		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U <_ A )
19		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( U / D )
20		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
21		pntlem1.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
22		pntlem1.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
23		pntlem1.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR+ )
24		pntlem1.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
25		pntlem1.z	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
26	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	pntlemb 25286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
27	26	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. RR+ )
28	27	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
29		peano2re 10209	. . . . . 6 |- ( ( log ` Z ) e. RR -> ( ( log ` Z ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 1 ) e. RR )
31	30	resqcld 13035	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR )
32		3re 11094	. . . . . 6 |- 3 e. RR
33		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
34	28, 32, 33	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
35	34, 28	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
36	27	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. RR )
37	21	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
38	36, 37	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
39		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
40	27	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
41	40	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
42		ere 14819	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> _e e. RR )
44		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
45		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 < 2
46		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
47	46	simpli 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < _e
48	44, 1, 42	lttri 10163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
49	45, 47, 48	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < _e
50	44, 42, 49	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 <_ _e
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ _e )
52	26	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
53	52	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` Z ) )
54	39, 43, 41, 51, 53	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ ( sqr ` Z ) )
55	52	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) )
56	39, 41, 38, 54, 55	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( Z / Y ) )
57		flge1nn 12622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Z / Y ) e. RR /\ 1 <_ ( Z / Y ) ) -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. NN )
58	38, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. NN )
59	58	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. RR+ )
60	59	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. RR )
61	60, 39	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) e. RR )
62	61	resqcld 13035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR )
63		logdivbnd 25245	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) <_ ( ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) / 2 ) )
64	58, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) <_ ( ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) / 2 ) )
65	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
66		2pos 11112	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 2 )
68		lemuldiv2 10904	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) e. RR /\ ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) <_ ( ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
69	8, 62, 65, 67, 68	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) <_ ( ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
70	64, 69	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) )
71		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z / Y ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. RR )
72	38, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. RR )
73		flle 12600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z / Y ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) <_ ( Z / Y ) )
74	38, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) <_ ( Z / Y ) )
75	21	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ Y )
76		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
78	77, 37, 27	lediv2d 11896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ Y <-> ( Z / Y ) <_ ( Z / 1 ) ) )
79	75, 78	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / Y ) <_ ( Z / 1 ) )
80	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. CC )
81	80	div1d 10793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / 1 ) = Z )
82	79, 81	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z / Y ) <_ Z )
83	72, 38, 36, 74, 82	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / Y ) ) <_ Z )
84	59, 27	logled 24373	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / Y ) ) <_ Z <-> ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) <_ ( log ` Z ) ) )
85	83, 84	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) <_ ( log ` Z ) )
86	60, 28, 39, 85	leadd1dd 10641	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) <_ ( ( log ` Z ) + 1 ) )
87		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
88		log1 24332	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
89	58	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
90		logleb 24349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( |_ ` ( Z / Y ) ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) )
91	76, 59, 90	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ ( |_ ` ( Z / Y ) ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) )
92	89, 91	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
93	88, 92	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
94	60	lep1d 10955	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) <_ ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) )
95	87, 60, 61, 93, 94	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) )
96	87, 61, 30, 95, 86	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( log ` Z ) + 1 ) )
97	61, 30, 95, 96	le2sqd 13044	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) <_ ( ( log ` Z ) + 1 ) <-> ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
98	86, 97	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) + 1 ) ^ 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) )
99	10, 62, 31, 70, 98	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) )
100	28	resqcld 13035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR )
101	65, 28	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( log ` Z ) ) e. RR )
102	100, 101	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
103		loge 24333	. . . . . . 7 |- ( log ` _e ) = 1
104	40	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` Z ) )
105	41, 41, 104, 54	lemulge12d 10962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
106	27	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
107		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
109	105, 108	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ Z )
110	43, 41, 36, 53, 109	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e <_ Z )
111		epr 14936	. . . . . . . . 9 |- _e e. RR+
112		logleb 24349	. . . . . . . . 9 |- ( ( _e e. RR+ /\ Z e. RR+ ) -> ( _e <_ Z <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` Z ) ) )
113	111, 27, 112	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( _e <_ Z <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` Z ) ) )
114	110, 113	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` _e ) <_ ( log ` Z ) )
115	103, 114	syl5eqbrr 4689	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 <_ ( log ` Z ) )
116	39, 28, 102, 115	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + 1 ) <_ ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + ( log ` Z ) ) )
117	28	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
118		binom21 12980	. . . . . 6 |- ( ( log ` Z ) e. CC -> ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + 1 ) )
119	117, 118	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + 1 ) )
120	117	sqvald 13005	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
121		df-3 11080	. . . . . . . . . 10 |- 3 = ( 2 + 1 )
122	121	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( 3 x. ( log ` Z ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( log ` Z ) )
123		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
124		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
125	123, 124, 117	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 + 1 ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( 1 x. ( log ` Z ) ) ) )
126	122, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 x. ( log ` Z ) ) = ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( 1 x. ( log ` Z ) ) ) )
127	117	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. ( log ` Z ) ) = ( log ` Z ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( 1 x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( log ` Z ) ) )
129	126, 128	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( log ` Z ) ) = ( 3 x. ( log ` Z ) ) )
130	120, 129	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) + ( 3 x. ( log ` Z ) ) ) )
131	117	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. CC )
132		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
133		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( log ` Z ) e. CC ) -> ( 2 x. ( log ` Z ) ) e. CC )
134	132, 117, 133	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( log ` Z ) ) e. CC )
135	131, 134, 117	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + ( log ` Z ) ) = ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( log ` Z ) ) + ( log ` Z ) ) ) )
136		3cn 11095	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
137	136	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. CC )
138	117, 137, 117	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) + ( 3 x. ( log ` Z ) ) ) )
139	130, 135, 138	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( ( log ` Z ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( log ` Z ) ) ) + ( log ` Z ) ) )
140	116, 119, 139	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) + 1 ) ^ 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) )
141	10, 31, 35, 99, 140	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) )
142	10, 35, 17	lemul2d 11916	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) <-> ( U x. ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) <_ ( U x. ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
143	141, 142	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( U x. ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) <_ ( U x. ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) ) )
144	17	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
145	144	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. RR )
146	145	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. CC )
147	6	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
148	5	rpcnne0d 11881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
149		div23 10704	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( U x. ( log ` n ) ) / n ) = ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) )
150		divass 10703	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( U x. ( log ` n ) ) / n ) = ( U x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
151	149, 150	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) = ( U x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
152	146, 147, 148, 151	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) = ( U x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
153	152	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( U x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
154	144	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CC )
155	7	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( log ` n ) / n ) e. CC )
156	2, 154, 155	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( U x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
157	153, 156	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) = ( U x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) )
158	157	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( U x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) )
159	8	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) e. CC )
160	123, 154, 159	mul12d 10245	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. ( U x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) = ( U x. ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) )
161	158, 160	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( U x. ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( log ` n ) / n ) ) ) )
162	34	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. CC )
163	154, 162, 117	mulassd 10063	. 2 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( U x. ( ( ( log ` Z ) + 3 ) x. ( log ` Z ) ) ) )
164	143, 161, 163	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072  ;cdc 11493   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-em 24719

This theorem is referenced by:  pntlemo  25296