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Theorem cxploglim2 24705
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Distinct variable groups:   A, n   B, n
Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 11094 . . 3 |- 3 e. RR
21a1i 11 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 3 e. RR )
3 0red 10041 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. RR )
43recnd 10068 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. CC )
5 ovexd 6680 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. _V )
6 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
7 recl 13850 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
9 1re 10039 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
10 ifcl 4130 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
118, 9, 10sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
129a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 e. RR )
13 0lt1 10550 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < 1 )
15 max1 12016 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
169, 8, 15sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
173, 12, 11, 14, 16ltletrd 10197 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
1811, 17elrpd 11869 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
196, 18rpdivcld 11889 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
20 cxploglim 24704 . . . 4 |- ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
2119, 20syl 17 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
225, 21, 18rlimcxp 24700 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ~~> r 0 )
235, 21rlimmptrcl 14338 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. CC )
2411adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
2524recnd 10068 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
2623, 25cxpcld 24454 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
27 relogcl 24322 . . . . . 6 |- ( n e. RR+ -> ( log ` n ) e. RR )
2827adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. RR )
2928recnd 10068 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. CC )
30 simpll 790 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> A e. CC )
3129, 30cxpcld 24454 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
32 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> n e. RR+ )
33 rpre 11839 . . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
3433ad2antlr 763 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> B e. RR )
3532, 34rpcxpcld 24476 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
3635rpcnd 11874 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. CC )
3735rpne0d 11877 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) =/= 0 )
3831, 36, 37divcld 10801 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
3938adantrr 753 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
4039abscld 14175 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) e. RR )
41 rpre 11839 . . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ -> n e. RR )
4241ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR )
439a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 e. RR )
441a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 e. RR )
45 1lt3 11196 . . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < 3 )
47 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 <_ n )
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 10197 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < n )
4942, 48rplogcld 24375 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR+ )
5032adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR+ )
5133ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. RR )
5218adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
5351, 52rerpdivcld 11903 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
5450, 53rpcxpcld 24476 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ )
5549, 54rpdivcld 11889 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. RR+ )
5611adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
5755, 56rpcxpcld 24476 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
5857rpred 11872 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
5926adantrr 753 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
6059abscld 14175 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR )
6131adantrr 753 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
6261abscld 14175 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) e. RR )
6349, 56rpcxpcld 24476 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
6463rpred 11872 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
6535adantrr 753 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
66 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> A e. CC )
67 abscxp 24438 . . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR+ /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
6849, 66, 67syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
6966recld 13934 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
70 max2 12018 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
719, 69, 70sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
7227ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
73 loge 24333 . . . . . . . . . 10 |- ( log ` _e ) = 1
74 ere 14819 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e e. RR )
76 egt2lt3 14934 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
7776simpri 478 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e < 3
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < 3 )
7975, 44, 42, 78, 47ltletrd 10197 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < n )
80 epr 14936 . . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR+
81 logltb 24346 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _e e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8280, 50, 81sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8379, 82mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` _e ) < ( log ` n ) )
8473, 83syl5eqbrr 4689 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < ( log ` n ) )
8572, 84, 69, 56cxpled 24466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) <-> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
8671, 85mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8768, 86eqbrtrd 4675 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8862, 64, 65, 87lediv1dd 11930 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) <_ ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
8931, 36, 37absdivd 14194 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9089adantrr 753 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9165rprege0d 11879 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) )
92 absid 14036 . . . . . . . 8 |- ( ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9493oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9590, 94eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9649rprege0d 11879 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) )
9711recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
9897adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
99 divcxp 24433 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) /\ ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ /\ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10096, 54, 98, 99syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10150, 53, 98cxpmuld 24480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
10251recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. CC )
10352rpne0d 11877 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) =/= 0 )
104102, 98, 103divcan1d 10802 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = B )
105104oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( n ^c B ) )
106101, 105eqtr3d 2658 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( n ^c B ) )
107106oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
108100, 107eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
10988, 95, 1083brtr4d 4685 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
11058leabsd 14153 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11140, 58, 60, 109, 110letrd 10194 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11239subid1d 10381 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) )
113112fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) )
11459subid1d 10381 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
115114fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
116111, 113, 1153brtr4d 4685 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) )
1172, 4, 22, 26, 38, 116rlimsqzlem 14379 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   RR+crp 11832   Recre 13837   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   _eceu 14793   logclog 24301   ^c ccxp 24302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304
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