Theorem fourierdlem56 40379

Description: Derivative of the K function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem56.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem56.a	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
fourierdlem56.r4	|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem56	|- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   ph, s

Allowed substitution hint:   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem56

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem56.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
2	1	difss2d 3740	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
3	2	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
4		1ex 10035	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
5		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V
6	4, 5	ifex 4156	. . . . . . 7 |- if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. _V )
8		fourierdlem56.k	. . . . . . 7 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
9	8	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
11		fourierdlem56.r4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
12	11	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
13	12	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
14		elioore 12205	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
17	16	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
18	17	sincld 14860	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
19		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
20		fourierdlem44 40368	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
21	3, 11, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
22		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
24	16, 18, 19, 21, 23	divdiv1d 10832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) = ( s / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. 2 ) ) )
25	18, 19	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. 2 ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. 2 ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
27	24, 26	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) )
28	10, 13, 27	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) )
29	28	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) ) )
30	29	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) ) ) )
31		reelprrecn 10028	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
32	31	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
33	16, 18, 21	divcld 10801	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
34		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
35	15	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
36	35	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
37	34, 36	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
38	35	recoscld 14874	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
39	34	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
40	38, 39	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) e. RR )
41	40, 15	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
42	37, 41	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
43	36	resqcld 13035	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) e. RR )
44		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
45	44	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
46	18, 21, 45	expne0d 13014	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
47	42, 43, 46	redivcld 10853	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
48		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. CC )
49		recn 10026	. . . . . 6 |- ( s e. RR -> s e. CC )
50	49	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
51		1red 10055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
52	32	dvmptid 23720	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
53		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ RR
54	53	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
55		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
56	55	tgioo2 22606	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
57		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
59	32, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58	dvmptres 23726	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
60		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` ( s / 2 ) ) e. { 0 } -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = 0 )
61	60	necon3ai 2819	. . . . . 6 |- ( ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 -> -. ( sin ` ( s / 2 ) ) e. { 0 } )
62	21, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. ( sin ` ( s / 2 ) ) e. { 0 } )
63	18, 62	eldifd 3585	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
64	17	coscld 14861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
65	48	halfcld 11277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
66	64, 65	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
67		cnelprrecn 10029	. . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
68	67	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
69		sinf 14854	. . . . . . 7 |- sin : CC --> CC
70	69	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
71	70	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( sin ` x ) e. CC )
72		cosf 14855	. . . . . . 7 |- cos : CC --> CC
73	72	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos : CC --> CC )
74	73	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( cos ` x ) e. CC )
75		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
76	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
77	32, 16, 34, 59, 75, 76	dvmptdivc 23728	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s / 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / 2 ) ) )
78		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin : CC --> CC -> sin Fn CC )
79	69, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- sin Fn CC
80		dffn5 6241	. . . . . . . . . 10 |- ( sin Fn CC <-> sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) )
81	79, 80	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) )
82	81	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) = sin
83	82	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) ) = ( CC _D sin )
84		dvsin 23745	. . . . . . 7 |- ( CC _D sin ) = cos
85		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
86	72, 85	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- cos Fn CC
87		dffn5 6241	. . . . . . . 8 |- ( cos Fn CC <-> cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
88	86, 87	mpbi 220	. . . . . . 7 |- cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) )
89	83, 84, 88	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) )
90	89	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
91		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = ( s / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
92		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = ( s / 2 ) -> ( cos ` x ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
93	32, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92	dvmptco 23735	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
94	32, 16, 48, 59, 63, 66, 93	dvmptdiv 23737	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
95	32, 33, 47, 94, 75, 76	dvmptdivc 23728	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( s / ( sin ` ( s / 2 ) ) ) / 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) )
96	14	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
97	96	halfcld 11277	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
98	97	sincld 14860	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
99	98	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
100	97	coscld 14861	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
101		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
102	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 =/= 0 )
103	100, 101, 102	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) = ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) )
106	99, 105	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) )
109	108	mpteq2ia 4740	. . 3 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) )
110	109	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( 1 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) )
111	30, 95, 110	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( sin ` ( s / 2 ) ) - ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) / 2 ) x. s ) ) / ( ( sin ` ( s / 2 ) ) ^ 2 ) ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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