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Theorem ftc1lem6 23804
Description: Lemma for ftc1 23805. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1.a |- ( ph -> A e. RR )
ftc1.b |- ( ph -> B e. RR )
ftc1.le |- ( ph -> A <_ B )
ftc1.s |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
ftc1.d |- ( ph -> D C_ RR )
ftc1.i |- ( ph -> F e. L^1 )
ftc1.c |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
ftc1.f |- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
ftc1.j |- J = ( L ↾t RR )
ftc1.k |- K = ( L ↾t D )
ftc1.l |- L = ( TopOpen ` ℂfld )
ftc1.h |- H = ( z e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( H lim CC C ) )
Distinct variable groups:   x, t, z, C   t, D, x, z   z, G   t, A, x, z   t, B, x, z   ph, t, x, z   t, F, x, z   x, L, z
Allowed substitution hints:   G( x, t)   H( x, z, t)   J( x, z, t)   K( x, z, t)   L( t)
Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables s u v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
2 ftc1.a . . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
3 ftc1.b . . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4 ftc1.le . . . 4 |- ( ph -> A <_ B )
5 ftc1.s . . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
6 ftc1.d . . . 4 |- ( ph -> D C_ RR )
7 ftc1.i . . . 4 |- ( ph -> F e. L^1 )
8 ftc1.c . . . 4 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
10 ftc1.j . . . 4 |- J = ( L ↾t RR )
11 ftc1.k . . . 4 |- K = ( L ↾t D )
12 ftc1.l . . . 4 |- L = ( TopOpen ` ℂfld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 23801 . . 3 |- ( ph -> F : D --> CC )
145, 8sseldd 3604 . . 3 |- ( ph -> C e. D )
1513, 14ffvelrnd 6360 . 2 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
16 cnxmet 22576 . . . . . 6 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
17 ax-resscn 9993 . . . . . . . 8 |- RR C_ CC
186, 17syl6ss 3615 . . . . . . 7 |- ( ph -> D C_ CC )
1918adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> D C_ CC )
20 xmetres2 22166 . . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
2116, 19, 20sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
2216a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
2412cnfldtopn 22585 . . . . . . . . . . . 12 |- L = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
25 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
2623, 24, 25metrest 22329 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( L ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
2928oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K CnP L ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) CnP L ) )
3029fveq1d 6193 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K CnP L ) ` C ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) CnP L ) ` C ) )
319, 30eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) CnP L ) ` C ) )
3231adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) CnP L ) ` C ) )
33 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
3425, 24metcnpi2 22350 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( F e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) CnP L ) ` C ) /\ w e. RR+ ) ) -> E. v e. RR+ A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) )
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. v e. RR+ A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) )
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> y e. D )
3714ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> C e. D )
3836, 37ovresd 6801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) = ( y ( abs o. - ) C ) )
3918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> D C_ CC )
4039sselda 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> y e. CC )
41 iccssre 12255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
422, 3, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
4342, 17syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
44 ioossicc 12259 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. CC )
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> C e. CC )
48 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
4948cnmetdval 22574 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ C e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( y - C ) ) )
5040, 47, 49syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( y ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( y - C ) ) )
5138, 50eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) = ( abs ` ( y - C ) ) )
5251breq1d 4663 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v <-> ( abs ` ( y - C ) ) < v ) )
5313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> F : D --> CC )
5453ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( F ` y ) e. CC )
5515ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( F ` C ) e. CC )
5648cnmetdval 22574 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` y ) e. CC /\ ( F ` C ) e. CC ) -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) )
5754, 55, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) )
5857breq1d 4663 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
5952, 58imbi12d 334 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ y e. D ) -> ( ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
6059ralbidva 2985 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) <-> A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
61 simprll 802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) )
62 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) -> s =/= C )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> s =/= C )
642ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> A e. RR )
653ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> B e. RR )
664ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> A <_ B )
675ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> ( A (,) B ) C_ D )
686ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> D C_ RR )
697ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> F e. L^1 )
708ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> C e. ( A (,) B ) )
719ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( z e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
73 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> w e. RR+ )
74 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> v e. RR+ )
75 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
76 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( y - C ) = ( u - C ) )
7776fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( abs ` ( u - C ) ) )
7877breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( ( abs ` ( y - C ) ) < v <-> ( abs ` ( u - C ) ) < v ) )
79 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
8079oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) = ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) ) )
8281breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
8378, 82imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
8483rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) /\ u e. D ) -> ( ( abs ` ( u - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
8575, 84sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) /\ u e. D ) -> ( ( abs ` ( u - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
8661eldifad 3586 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
87 simprr 796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( s - C ) ) < v )
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 23803 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) /\ s =/= C ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w )
8963, 88mpdan 702 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w )
9089expr 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) ) -> ( ( abs ` ( s - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
9190adantld 483 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ ( s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) /\ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) ) -> ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
9291expr 643 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) /\ s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) -> ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
9392ralrimdva 2969 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < v -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < w ) -> A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
9460, 93sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. RR+ /\ v e. RR+ ) ) -> ( A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) -> A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
9594anassrs 680 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ v e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) -> A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
9695reximdva 3017 . . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. v e. RR+ A. y e. D ( ( y ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) C ) < v -> ( ( F ` y ) ( abs o. - ) ( F ` C ) ) < w ) -> E. v e. RR+ A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) )
9735, 96mpd 15 . . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. v e. RR+ A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
9897ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. v e. RR+ A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) )
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 23799 . . . . 5 |- ( ph -> G : ( A [,] B ) --> CC )
10099, 43, 45dvlem 23660 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
101100, 72fmptd 6385 . . 3 |- ( ph -> H : ( ( A [,] B ) \ { C } ) --> CC )
10243ssdifssd 3748 . . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) \ { C } ) C_ CC )
103101, 102, 46ellimc3 23643 . 2 |- ( ph -> ( ( F ` C ) e. ( H lim CC C ) <-> ( ( F ` C ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. v e. RR+ A. s e. ( ( A [,] B ) \ { C } ) ( ( s =/= C /\ ( abs ` ( s - C ) ) < v ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) - ( F ` C ) ) ) < w ) ) ) )
10415, 98, 103mpbir2and 957 1 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( H lim CC C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂfldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   L^1cibl 23386   S.citg 23387   lim CC climc 23626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630
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