Theorem heron 24565

Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as ( 1 / 2 ) x. X x. Y x. abs ( sin O ), is equal to the square root of S x. ( S - X ) x. ( S - Y ) x. ( S - Z ), where S = ( X + Y + Z ) / 2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
heron.f	|- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
heron.x	|- X = ( abs ` ( B - C ) )
heron.y	|- Y = ( abs ` ( A - C ) )
heron.z	|- Z = ( abs ` ( A - B ) )
heron.o	|- O = ( ( B - C ) F ( A - C ) )
heron.s	|- S = ( ( ( X + Y ) + Z ) / 2 )
heron.a	|- ( ph -> A e. CC )
heron.b	|- ( ph -> B e. CC )
heron.c	|- ( ph -> C e. CC )
heron.ac	|- ( ph -> A =/= C )
heron.bc	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
heron	|- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) = ( sqr ` ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   S( x, y)   F( x, y)   O( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)   Z( x, y)

Proof of Theorem heron

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
2	1	rehalfcld 11279	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
3		heron.x	. . . . . . 7 |- X = ( abs ` ( B - C ) )
4		heron.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
5		heron.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
6	4, 5	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - C ) e. CC )
7	6	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( B - C ) ) e. RR )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
9		heron.y	. . . . . . 7 |- Y = ( abs ` ( A - C ) )
10		heron.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
11	10, 5	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - C ) e. CC )
12	11	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( A - C ) ) e. RR )
13	9, 12	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
14	8, 13	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. RR )
15	2, 14	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) e. RR )
16		heron.o	. . . . . . 7 |- O = ( ( B - C ) F ( A - C ) )
17		negpitopissre 24286	. . . . . . . . 9 |- ( -u pi (,] pi ) C_ RR
18		heron.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
19		heron.bc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B =/= C )
20	4, 5, 19	subne0d 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - C ) =/= 0 )
21		heron.ac	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A =/= C )
22	10, 5, 21	subne0d 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - C ) =/= 0 )
23	18, 6, 20, 11, 22	angcld 24535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - C ) F ( A - C ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
24	17, 23	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - C ) F ( A - C ) ) e. RR )
25	24	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - C ) F ( A - C ) ) e. CC )
26	16, 25	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. CC )
27	26	sincld 14860	. . . . 5 |- ( ph -> ( sin ` O ) e. CC )
28	27	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( sin ` O ) ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) e. RR )
30		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
31		halfre 11246	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
32		halfgt0 11248	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
33	30, 31, 32	ltleii 10160	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
34	33	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / 2 ) )
35	6	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( B - C ) ) )
36	35, 3	syl6breqr 4695	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ X )
37	11	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( A - C ) ) )
38	37, 9	syl6breqr 4695	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ Y )
39	8, 13, 36, 38	mulge0d 10604	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( X x. Y ) )
40	2, 14, 34, 39	mulge0d 10604	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) )
41	27	absge0d 14183	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( sin ` O ) ) )
42	15, 28, 40, 41	mulge0d 10604	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) )
43	29, 42	sqrtsqd 14158	. 2 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) )
44		halfcn 11247	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
46	8	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. CC )
47	13	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. CC )
48	46, 47	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. CC )
49	45, 48	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) e. CC )
50	28	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( sin ` O ) ) e. CC )
51	49, 50	sqmuld 13020	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( sin ` O ) ) ^ 2 ) ) )
52		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
53		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
55	48, 52, 54	sqdivd 13021	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X x. Y ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
56	48, 52, 54	divrec2d 10805	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X x. Y ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) )
58		sq2 12960	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / 4 ) )
61	55, 57, 60	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) = ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / 4 ) )
62	16, 24	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. RR )
63	62	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` O ) e. RR )
64		absresq 14042	. . . . . 6 |- ( ( sin ` O ) e. RR -> ( ( abs ` ( sin ` O ) ) ^ 2 ) = ( ( sin ` O ) ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( sin ` O ) ) ^ 2 ) = ( ( sin ` O ) ^ 2 ) )
66	61, 65	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( abs ` ( sin ` O ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / 4 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) )
67	48	sqcld 13006	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) ^ 2 ) e. CC )
68	27	sqcld 13006	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sin ` O ) ^ 2 ) e. CC )
69	67, 68	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) e. CC )
70		4cn 11098	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
71	70	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 e. CC )
72		heron.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( ( ( X + Y ) + Z ) / 2 )
73	8, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + Y ) e. RR )
74		heron.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( abs ` ( A - B ) )
75	10, 4	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
76	75	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
77	74, 76	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Z e. RR )
78	73, 77	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
79	78	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / 2 ) e. RR )
80	72, 79	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR )
81	80	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. CC )
82	81, 46	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S - X ) e. CC )
83	81, 82	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S x. ( S - X ) ) e. CC )
84	81, 47	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S - Y ) e. CC )
85	77	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. CC )
86	81, 85	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S - Z ) e. CC )
87	84, 86	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) e. CC )
88	83, 87	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) e. CC )
89	71, 88	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) e. CC )
90		4ne0 11117	. . . . . . . 8 |- 4 =/= 0
91	90	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 =/= 0 )
92	52, 48	sqmuld 13020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) )
93	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) )
94	92, 93	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) )
96	71, 67, 68	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) ) )
97	52, 48	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( X x. Y ) ) e. CC )
98	97	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) e. CC )
99	98, 68	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) e. CC )
100	47, 85	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y x. Z ) e. CC )
101	52, 100	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( Y x. Z ) ) e. CC )
102	101	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) e. CC )
103	47	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. CC )
104	85	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z ^ 2 ) e. CC )
105	46	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
106	104, 105	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) e. CC )
107	103, 106	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
108	107	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
109	102, 108	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
110	26	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( cos ` O ) e. CC )
111	110	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( cos ` O ) ^ 2 ) e. CC )
112	98, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) e. CC )
113		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O e. CC -> ( ( ( sin ` O ) ^ 2 ) + ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) = 1 )
114	26, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( sin ` O ) ^ 2 ) + ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) = 1 )
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( sin ` O ) ^ 2 ) + ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. 1 ) )
116	98, 68, 111	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( sin ` O ) ^ 2 ) + ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) + ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) )
117	103	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 x. ( Y ^ 2 ) ) = ( ( Y ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
118	103, 106, 103	ppncand 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( Y ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
119	117, 118	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( Y ^ 2 ) ) = ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
120	106	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) )
121	103, 106, 106	pnncand 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) )
122	120, 121	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
123	119, 122	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( 2 x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
124		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. 2 ) = 4
125	124, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 x. 2 ) e. CC )
126	125, 103, 106	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
127	125, 103	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) e. CC )
128	127, 104, 105	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( Z ^ 2 ) ) - ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
129	52	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 ) )
130	47, 85	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( Y x. Z ) ^ 2 ) = ( ( Y ^ 2 ) x. ( Z ^ 2 ) ) )
131	129, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( Y x. Z ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( Z ^ 2 ) ) ) )
132	52, 100	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( Y x. Z ) ^ 2 ) ) )
133	125, 103, 104	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( Z ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( Z ^ 2 ) ) ) )
134	131, 132, 133	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( Z ^ 2 ) ) )
135	46, 47	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) ^ 2 ) = ( ( X ^ 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) )
136	105, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) = ( ( Y ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) )
137	135, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) ^ 2 ) = ( ( Y ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) )
138	129, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( X x. Y ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
139	125, 103, 105	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
140	138, 92, 139	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) )
141	134, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( Z ^ 2 ) ) - ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
142	128, 141	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. 2 ) x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) )
143	52, 52, 103, 106	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( Y ^ 2 ) x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( 2 x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
144	126, 142, 143	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( Y ^ 2 ) ) x. ( 2 x. ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
145	103, 106	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
146		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) e. CC ) -> ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
147	107, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
148	123, 144, 147	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
150	102, 98	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) )
151	145	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
152	102, 108, 151	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
153	149, 150, 152	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
154	98	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) )
155	105, 103	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) e. CC )
156	48, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) e. CC )
157	52, 156	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) e. CC )
158	155, 157	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) )
159	103, 104	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( Z ^ 2 ) ) e. CC )
160	159, 105	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) - ( Z ^ 2 ) ) + ( X ^ 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( Z ^ 2 ) ) ) )
161	103, 104, 105	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( Y ^ 2 ) - ( Z ^ 2 ) ) + ( X ^ 2 ) ) )
162	105, 103, 104	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( Z ^ 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( ( Y ^ 2 ) - ( Z ^ 2 ) ) ) )
163	160, 161, 162	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( Z ^ 2 ) ) )
164	18, 3, 9, 74, 16	lawcos 24546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( Z ^ 2 ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) ) )
165	10, 4, 5, 21, 19, 164	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Z ^ 2 ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( Z ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) ) ) )
167	163, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) ) ) )
168	52, 48, 110	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) x. ( cos ` O ) ) = ( 2 x. ( ( X x. Y ) x. ( cos ` O ) ) ) )
169	158, 167, 168	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) x. ( cos ` O ) ) )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) x. ( cos ` O ) ) ^ 2 ) )
171	97, 110	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) x. ( cos ` O ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) )
172	170, 171	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) = ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( Y ^ 2 ) - ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
174	153, 154, 173	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. 1 ) = ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) )
175	115, 116, 174	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) + ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( cos ` O ) ^ 2 ) ) ) )
176	99, 109, 112, 175	addcan2ad 10242	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
177		subsq 12972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) e. CC /\ ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
178	101, 107, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) )
179	103, 104	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) e. CC )
180	101, 179, 105	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( X ^ 2 ) ) ) )
181	103, 104, 105	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
183	180, 182	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) - ( X ^ 2 ) ) )
184		binom2 12979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y e. CC /\ Z e. CC ) -> ( ( Y + Z ) ^ 2 ) = ( ( ( Y ^ 2 ) + ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) + ( Z ^ 2 ) ) )
185	47, 85, 184	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y + Z ) ^ 2 ) = ( ( ( Y ^ 2 ) + ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) + ( Z ^ 2 ) ) )
186	103, 101, 104	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) + ( Z ^ 2 ) ) = ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) )
187	179, 101	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) = ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) )
188	185, 186, 187	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + Z ) ^ 2 ) = ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) )
189	188	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y + Z ) ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) - ( X ^ 2 ) ) )
190	47, 85	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y + Z ) e. CC )
191		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y + Z ) e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( ( Y + Z ) ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( ( Y + Z ) + X ) x. ( ( Y + Z ) - X ) ) )
192	190, 46, 191	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y + Z ) ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( ( Y + Z ) + X ) x. ( ( Y + Z ) - X ) ) )
193	72	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. S ) = ( 2 x. ( ( ( X + Y ) + Z ) / 2 ) )
194	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. CC )
195	194, 52, 54	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( X + Y ) + Z ) / 2 ) ) = ( ( X + Y ) + Z ) )
196	193, 195	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( ( X + Y ) + Z ) )
197	46, 47, 85	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) = ( X + ( Y + Z ) ) )
198	46, 190	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X + ( Y + Z ) ) = ( ( Y + Z ) + X ) )
199	196, 197, 198	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( ( Y + Z ) + X ) )
200	52, 81, 46	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - X ) ) = ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. X ) ) )
201	196, 197	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( X + ( Y + Z ) ) )
202	46	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. X ) = ( X + X ) )
203	201, 202	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. X ) ) = ( ( X + ( Y + Z ) ) - ( X + X ) ) )
204	46, 190, 46	pnpcand 10429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( X + ( Y + Z ) ) - ( X + X ) ) = ( ( Y + Z ) - X ) )
205	200, 203, 204	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - X ) ) = ( ( Y + Z ) - X ) )
206	199, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) x. ( 2 x. ( S - X ) ) ) = ( ( ( Y + Z ) + X ) x. ( ( Y + Z ) - X ) ) )
207	192, 206	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y + Z ) ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. S ) x. ( 2 x. ( S - X ) ) ) )
208	52, 81, 52, 82	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) x. ( 2 x. ( S - X ) ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( S x. ( S - X ) ) ) )
209	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
210	209	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( S x. ( S - X ) ) ) = ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) )
211	207, 208, 210	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y + Z ) ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) )
212	183, 189, 211	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) )
213	101, 179	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) e. CC )
214	213, 105	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
215	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) )
216	101, 179, 105	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( X ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) )
217	215, 216	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) )
218	105, 179, 101	subsub2d 10421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) ) ) )
219	214, 217, 218	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) ) )
220	103, 104, 101	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) = ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) ) )
221	104, 101	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) e. CC )
222	103, 221	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) )
223	47, 85	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Y x. Z ) = ( Z x. Y ) )
224	223	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( Y x. Z ) ) = ( 2 x. ( Z x. Y ) ) )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) = ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Z x. Y ) ) ) )
226	225	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Z x. Y ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) )
227	220, 222, 226	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Z x. Y ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) )
228		binom2sub 12981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( Z - Y ) ^ 2 ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Z x. Y ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) )
229	85, 47, 228	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Z - Y ) ^ 2 ) = ( ( ( Z ^ 2 ) - ( 2 x. ( Z x. Y ) ) ) + ( Y ^ 2 ) ) )
230	227, 229	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) = ( ( Z - Y ) ^ 2 ) )
231	230	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( ( Y ^ 2 ) + ( Z ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( Y x. Z ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( ( Z - Y ) ^ 2 ) ) )
232	85, 47	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z - Y ) e. CC )
233		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. CC /\ ( Z - Y ) e. CC ) -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( Z - Y ) ^ 2 ) ) = ( ( X + ( Z - Y ) ) x. ( X - ( Z - Y ) ) ) )
234	46, 232, 233	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( Z - Y ) ^ 2 ) ) = ( ( X + ( Z - Y ) ) x. ( X - ( Z - Y ) ) ) )
235	52, 81, 47	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - Y ) ) = ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. Y ) ) )
236	46, 47, 85	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) = ( ( X + Z ) + Y ) )
237	196, 236	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( ( X + Z ) + Y ) )
238	47	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. Y ) = ( Y + Y ) )
239	237, 238	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. Y ) ) = ( ( ( X + Z ) + Y ) - ( Y + Y ) ) )
240	46, 85	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + Z ) e. CC )
241	240, 47, 47	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( X + Z ) + Y ) - ( Y + Y ) ) = ( ( X + Z ) - Y ) )
242	46, 85, 47	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( X + Z ) - Y ) = ( X + ( Z - Y ) ) )
243	241, 242	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( X + Z ) + Y ) - ( Y + Y ) ) = ( X + ( Z - Y ) ) )
244	235, 239, 243	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - Y ) ) = ( X + ( Z - Y ) ) )
245	52, 81, 85	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - Z ) ) = ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. Z ) ) )
246	85	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. Z ) = ( Z + Z ) )
247	196, 246	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) - ( 2 x. Z ) ) = ( ( ( X + Y ) + Z ) - ( Z + Z ) ) )
248	46, 47	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + Y ) e. CC )
249	248, 85, 85	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) - ( Z + Z ) ) = ( ( X + Y ) - Z ) )
250	46, 85, 47	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X - ( Z - Y ) ) = ( ( X + Y ) - Z ) )
251	249, 250	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) - ( Z + Z ) ) = ( X - ( Z - Y ) ) )
252	245, 247, 251	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( S - Z ) ) = ( X - ( Z - Y ) ) )
253	244, 252	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( S - Y ) ) x. ( 2 x. ( S - Z ) ) ) = ( ( X + ( Z - Y ) ) x. ( X - ( Z - Y ) ) ) )
254	234, 253	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( Z - Y ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( S - Y ) ) x. ( 2 x. ( S - Z ) ) ) )
255	52, 84, 52, 86	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( S - Y ) ) x. ( 2 x. ( S - Z ) ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
256	209	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) = ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
257	254, 255, 256	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) - ( ( Z - Y ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
258	219, 231, 257	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
259	212, 258	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) + ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( 2 x. ( Y x. Z ) ) - ( ( Y ^ 2 ) + ( ( Z ^ 2 ) - ( X ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )
260	176, 178, 259	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )
261	71, 87	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) e. CC )
262	71, 83, 261	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S x. ( S - X ) ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) = ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) ) )
263	83, 71, 87	mul12d 10245	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) = ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )
264	263	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( 4 x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) ) = ( 4 x. ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) ) )
265	260, 262, 264	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( X x. Y ) ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) ) )
266	95, 96, 265	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) ) = ( 4 x. ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) ) )
267	69, 89, 71, 91, 266	mulcanad 10662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )
268	267	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) / 4 ) )
269	67, 68, 71, 91	div23d 10838	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / 4 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) )
270	80, 8	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S - X ) e. RR )
271	80, 270	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S x. ( S - X ) ) e. RR )
272	80, 13	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S - Y ) e. RR )
273	80, 77	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S - Z ) e. RR )
274	272, 273	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) e. RR )
275	271, 274	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) e. RR )
276	275	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) e. CC )
277	276, 71, 91	divcan3d 10806	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) / 4 ) = ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
278	268, 269, 277	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X x. Y ) ^ 2 ) / 4 ) x. ( ( sin ` O ) ^ 2 ) ) = ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
279	51, 66, 278	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) )
280	279	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )
281	43, 280	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X x. Y ) ) x. ( abs ` ( sin ` O ) ) ) = ( sqr ` ( ( S x. ( S - X ) ) x. ( ( S - Y ) x. ( S - Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   Imcim 13838   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

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