Theorem measxun2 30273

Description: The measure the union of two complementary sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measxun2	|- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` A ) = ( ( M ` B ) +e ( M ` ( A \ B ) ) ) )

Proof of Theorem measxun2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> M e. (measures ` S ) )
2		simp2r 1088	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> B e. S )
3		measbase 30260	. . . . . 6 |- ( M e. (measures ` S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
5		simp2l 1087	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> A e. S )
6		difelsiga 30196	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A \ B ) e. S )
7	4, 5, 2, 6	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. S )
8		prelpwi 4915	. . . 4 |- ( ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) -> { B , ( A \ B ) } e. ~P S )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> { B , ( A \ B ) } e. ~P S )
10		prct 29492	. . . . 5 |- ( ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) -> { B , ( A \ B ) } ~<_ om )
11	2, 7, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> { B , ( A \ B ) } ~<_ om )
12		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> B C_ A )
13		disjdifprg2 29389	. . . . . 6 |- ( A e. S -> Disj x e. { ( A \ B ) , ( A i^i B ) } x )
14		prcom 4267	. . . . . . . . 9 |- { ( A \ B ) , B } = { B , ( A \ B ) }
15		dfss 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B C_ A <-> B = ( B i^i A ) )
16	15	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ A -> B = ( B i^i A ) )
17		incom 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
18	16, 17	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ A -> B = ( A i^i B ) )
19	18	preq2d 4275	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ A -> { ( A \ B ) , B } = { ( A \ B ) , ( A i^i B ) } )
20	14, 19	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( B C_ A -> { B , ( A \ B ) } = { ( A \ B ) , ( A i^i B ) } )
21	20	disjeq1d 4628	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> (Disj x e. { B , ( A \ B ) } x <-> Disj x e. { ( A \ B ) , ( A i^i B ) } x ) )
22	21	biimprd 238	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> (Disj x e. { ( A \ B ) , ( A i^i B ) } x -> Disj x e. { B , ( A \ B ) } x ) )
23	13, 22	mpan9 486	. . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B C_ A ) -> Disj x e. { B , ( A \ B ) } x )
24	5, 12, 23	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> Disj x e. { B , ( A \ B ) } x )
25	11, 24	jca 554	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( { B , ( A \ B ) } ~<_ om /\ Disj x e. { B , ( A \ B ) } x ) )
26		measvun 30272	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ { B , ( A \ B ) } e. ~P S /\ ( { B , ( A \ B ) } ~<_ om /\ Disj x e. { B , ( A \ B ) } x ) ) -> ( M ` U. { B , ( A \ B ) } ) = Σ* x e. { B , ( A \ B ) } ( M ` x ) )
27	1, 9, 25, 26	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` U. { B , ( A \ B ) } ) = Σ* x e. { B , ( A \ B ) } ( M ` x ) )
28	2, 7	jca 554	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) )
29		uniprg 4450	. . . . 5 |- ( ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) -> U. { B , ( A \ B ) } = ( B u. ( A \ B ) ) )
30		undif 4049	. . . . . 6 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
31	30	biimpi 206	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
32	29, 31	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) /\ B C_ A ) -> U. { B , ( A \ B ) } = A )
33	32	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( B e. S /\ ( A \ B ) e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` U. { B , ( A \ B ) } ) = ( M ` A ) )
34	28, 12, 33	syl2anc 693	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` U. { B , ( A \ B ) } ) = ( M ` A ) )
35		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ x = B ) -> x = B )
36	35	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ x = B ) -> ( M ` x ) = ( M ` B ) )
37		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ x = ( A \ B ) ) -> x = ( A \ B ) )
38	37	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ x = ( A \ B ) ) -> ( M ` x ) = ( M ` ( A \ B ) ) )
39		measvxrge0 30268	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B e. S ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
40	1, 2, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		measvxrge0 30268	. . . 4 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A \ B ) e. S ) -> ( M ` ( A \ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
42	1, 7, 41	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` ( A \ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43		eqimss 3657	. . . . . . . . 9 |- ( B = ( A \ B ) -> B C_ ( A \ B ) )
44		ssdifeq0 4051	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ ( A \ B ) <-> B = (/) )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( B = ( A \ B ) -> B = (/) )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( B = ( A \ B ) -> ( M ` B ) = ( M ` (/) ) )
47		measvnul 30269	. . . . . . 7 |- ( M e. (measures ` S ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
48	46, 47	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ B = ( A \ B ) ) -> ( M ` B ) = 0 )
49	1, 48	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ B = ( A \ B ) ) -> ( M ` B ) = 0 )
50	49	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) /\ B = ( A \ B ) ) -> ( ( M ` B ) = 0 \/ ( M ` B ) = +oo ) )
51	50	ex 450	. . 3 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( B = ( A \ B ) -> ( ( M ` B ) = 0 \/ ( M ` B ) = +oo ) ) )
52	36, 38, 2, 7, 40, 42, 51	esumpr2 30129	. 2 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> Σ* x e. { B , ( A \ B ) } ( M ` x ) = ( ( M ` B ) +e ( M ` ( A \ B ) ) ) )
53	27, 34, 52	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( M e. (measures ` S ) /\ ( A e. S /\ B e. S ) /\ B C_ A ) -> ( M ` A ) = ( ( M ` B ) +e ( M ` ( A \ B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259

This theorem is referenced by:  measun  30274