Theorem root1eq1 24496

Description: The only powers of an N-th root of unity that equal 1 are the multiples of N. In other words, -u 1 ^c ( 2 / N ) has order N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
root1eq1	|- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> N || K ) )

Proof of Theorem root1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. NN )
3		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. NN ) -> ( 2 / N ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 / N ) e. RR )
5	4	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 / N ) e. CC )
6		ax-icn 9995	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
7		picn 24211	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
8	6, 7	mulcli 10045	. . . . . . 7 |- ( _i x. pi ) e. CC
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( _i x. pi ) e. CC )
10	5, 9	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) e. CC )
11		efexp 14831	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
12	10, 11	sylancom 701	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
13		zcn 11382	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> K e. CC )
15		nncn 11028	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
17		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> 2 e. CC )
19		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N =/= 0 )
21	14, 16, 18, 20	div32d 10824	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. 2 ) = ( K x. ( 2 / N ) ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. 2 ) x. ( _i x. pi ) ) = ( ( K x. ( 2 / N ) ) x. ( _i x. pi ) ) )
23	14, 16, 20	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( K / N ) e. CC )
24	23, 18, 9	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. 2 ) x. ( _i x. pi ) ) = ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) )
25	14, 5, 9	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( 2 / N ) ) x. ( _i x. pi ) ) = ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) = ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) )
28		neg1cn 11124	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
30		neg1ne0 11126	. . . . . . . 8 |- -u 1 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> -u 1 =/= 0 )
32	29, 31, 5	cxpefd 24458	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) ) )
33		logm1 24335	. . . . . . . 8 |- ( log ` -u 1 ) = ( _i x. pi )
34	33	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) = ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) )
35	34	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) )
36	32, 35	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
38	12, 27, 37	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) )
39	38	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 ) )
40	17, 8	mulcli 10045	. . . 4 |- ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC
41		mulcl 10020	. . . 4 |- ( ( ( K / N ) e. CC /\ ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC )
42	23, 40, 41	sylancl 694	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC )
43		efeq1 24275	. . 3 |- ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC -> ( ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 <-> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
44	42, 43	syl 17	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 <-> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
45	6, 17, 7	mul12i 10231	. . . . . 6 |- ( _i x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( _i x. pi ) )
46	45	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( 2 x. ( _i x. pi ) ) )
47	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC )
48		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
49		ine0 10465	. . . . . . . . 9 |- _i =/= 0
50		pire 24210	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
51		pipos 24212	. . . . . . . . . 10 |- 0 < pi
52	50, 51	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . 9 |- pi =/= 0
53	6, 7, 49, 52	mulne0i 10670	. . . . . . . 8 |- ( _i x. pi ) =/= 0
54	17, 8, 48, 53	mulne0i 10670	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( _i x. pi ) ) =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 x. ( _i x. pi ) ) =/= 0 )
56	23, 47, 55	divcan4d 10807	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) = ( K / N ) )
57	46, 56	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( K / N ) )
58	57	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
59		nnz 11399	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60	59	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
61		simpr 477	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
62		dvdsval2 14986	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( N || K <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
63	60, 20, 61, 62	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( N || K <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
64	58, 63	bitr4d 271	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ <-> N || K ) )
65	39, 44, 64	3bitrd 294	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> N || K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ^cexp 12860   expce 14792   picpi 14797   || cdvds 14983   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  dchrptlem1  24989  dchrptlem2  24990