Theorem atantayl 24664

Description: The Taylor series for arctan ( A ). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
atantayl.1	|- F = ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ n ) / n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
atantayl	|- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , F ) ~~> (arctan ` A ) )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem atantayl

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 1 e. ZZ )
3		ax-icn 9995	. . . 4 |- _i e. CC
4		halfcl 11257	. . . 4 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
6		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> A e. CC )
7		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
8	3, 6, 7	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
9	8	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> -u ( _i x. A ) e. CC )
10	8	absnegd 14188	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` -u ( _i x. A ) ) = ( abs ` ( _i x. A ) ) )
11		absmul 14034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
12	3, 6, 11	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
13		absi 14026	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` _i ) = 1
14	13	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
15		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
18	17	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
19	14, 18	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
20	10, 12, 19	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` -u ( _i x. A ) ) = ( abs ` A ) )
21		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) < 1 )
22	20, 21	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` -u ( _i x. A ) ) < 1 )
23		logtayl 24406	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( _i x. A ) e. CC /\ ( abs ` -u ( _i x. A ) ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - -u ( _i x. A ) ) ) )
24	9, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - -u ( _i x. A ) ) ) )
25		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
26		subneg 10330	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
27	25, 8, 26	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 - -u ( _i x. A ) ) = ( 1 + ( _i x. A ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( log ` ( 1 - -u ( _i x. A ) ) ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
29	28	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> -u ( log ` ( 1 - -u ( _i x. A ) ) ) = -u ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
30	24, 29	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
31		seqex 12803	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ) e. _V )
33	10, 22	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) < 1 )
34		logtayl 24406	. . . . . 6 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( abs ` ( _i x. A ) ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
35	8, 33, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( -u ( _i x. A ) ^ n ) = ( -u ( _i x. A ) ^ m ) )
37		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> n = m )
38	36, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) = ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) )
40		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) e. _V
41	38, 39, 40	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) = ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) = ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
43		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
44		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( _i x. A ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( _i x. A ) ^ m ) e. CC )
45	9, 43, 44	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( -u ( _i x. A ) ^ m ) e. CC )
46		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m e. CC )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
48		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
50	45, 47, 49	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) e. CC )
51	42, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) e. CC )
52	1, 2, 51	serf 12829	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) : NN --> CC )
53	52	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` k ) e. CC )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( _i x. A ) ^ n ) = ( ( _i x. A ) ^ m ) )
55	54, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) = ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) )
57		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) e. _V
58	55, 56, 57	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) = ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) = ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) )
60		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( _i x. A ) ^ m ) e. CC )
61	8, 43, 60	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( _i x. A ) ^ m ) e. CC )
62	61, 47, 49	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) e. CC )
63	59, 62	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) e. CC )
64	1, 2, 63	serf 12829	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) : NN --> CC )
65	64	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` k ) e. CC )
66		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
67	66, 1	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
68		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) )
69		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( m e. ( 1 ... k ) -> m e. NN )
70	68, 69, 51	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) e. CC )
71	68, 69, 63	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) e. CC )
72	38, 55	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) )
74		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) e. _V
75	72, 73, 74	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
76	75	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
77	42, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) - ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
78	76, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) = ( ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) - ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) ) )
79	68, 69, 78	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) /\ m e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) = ( ( ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) - ( ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ` m ) ) )
80	67, 70, 71, 79	sersub 12844	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` k ) - ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` k ) ) )
81	1, 2, 30, 32, 35, 53, 65, 80	climsub 14364	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ) ~~> ( -u ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - -u ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) )
82		addcl 10018	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
83	25, 8, 82	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
84		bndatandm 24656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> A e. dom arctan )
85		atandm2 24604	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
86	84, 85	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
87	86	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
88	83, 87	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
89		subcl 10280	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
90	25, 8, 89	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
91	86	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
92	90, 91	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
93	88, 92	neg2subd 10409	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( -u ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) - -u ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
94	81, 93	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ) ~~> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
95	50, 62	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) e. CC )
96	76, 95	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) e. CC )
97	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> _i e. CC )
98		negicn 10282	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. CC
99	43	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
100		expcl 12878	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( -u _i ^ m ) e. CC )
101	98, 99, 100	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( -u _i ^ m ) e. CC )
102		expcl 12878	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( _i ^ m ) e. CC )
103	3, 99, 102	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( _i ^ m ) e. CC )
104	101, 103	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) e. CC )
105		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> 2 e. CC )
106		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
107	106	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> 2 =/= 0 )
108	97, 104, 105, 107	div23d 10838	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) )
109	108	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) = ( ( ( _i / 2 ) x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) )
110	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
111		expcl 12878	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( A ^ m ) e. CC )
112	6, 43, 111	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( A ^ m ) e. CC )
113	112, 47, 49	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( A ^ m ) / m ) e. CC )
114	110, 104, 113	mulassd 10063	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) ) )
115	101, 103, 112	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( A ^ m ) ) = ( ( ( -u _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) - ( ( _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) ) )
116	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> A e. CC )
117		mulneg1 10466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) = -u ( _i x. A ) )
118	3, 116, 117	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( -u _i x. A ) = -u ( _i x. A ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( -u _i x. A ) ^ m ) = ( -u ( _i x. A ) ^ m ) )
120	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> -u _i e. CC )
121	120, 116, 99	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( -u _i x. A ) ^ m ) = ( ( -u _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) )
122	119, 121	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( -u ( _i x. A ) ^ m ) = ( ( -u _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) )
123	97, 116, 99	mulexpd 13023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( _i x. A ) ^ m ) = ( ( _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) )
124	122, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) - ( ( _i x. A ) ^ m ) ) = ( ( ( -u _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) - ( ( _i ^ m ) x. ( A ^ m ) ) ) )
125	115, 124	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( A ^ m ) ) = ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) - ( ( _i x. A ) ^ m ) ) )
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( A ^ m ) ) / m ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) - ( ( _i x. A ) ^ m ) ) / m ) )
127	104, 112, 47, 49	divassd 10836	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( A ^ m ) ) / m ) = ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) )
128	45, 61, 47, 49	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) - ( ( _i x. A ) ^ m ) ) / m ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
129	126, 127, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) = ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) )
130	129	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) ) )
131	109, 114, 130	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) ) )
132		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( -u _i ^ n ) = ( -u _i ^ m ) )
133		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( _i ^ n ) = ( _i ^ m ) )
134	132, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) = ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) )
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( _i x. ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) ) = ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) )
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( _i x. ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) ) / 2 ) = ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) )
137		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( A ^ n ) = ( A ^ m ) )
138	137, 37	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( A ^ n ) / n ) = ( ( A ^ m ) / m ) )
139	136, 138	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ n ) / n ) ) = ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) )
140		atantayl.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ n ) - ( _i ^ n ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ n ) / n ) ) )
141		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) e. _V
142	139, 140, 141	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) )
143	142	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) = ( ( ( _i x. ( ( -u _i ^ m ) - ( _i ^ m ) ) ) / 2 ) x. ( ( A ^ m ) / m ) ) )
144	76	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ m ) / m ) - ( ( ( _i x. A ) ^ m ) / m ) ) ) )
145	131, 143, 144	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( ( -u ( _i x. A ) ^ n ) / n ) - ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / n ) ) ) ` m ) ) )
146	1, 2, 5, 94, 96, 145	isermulc2 14388	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) ) )
147		atanval 24611	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> (arctan ` A ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) ) )
148	84, 147	syl 17	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> (arctan ` A ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) ) )
149	146, 148	breqtrrd 4681	1 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , F ) ~~> (arctan ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   logclog 24301  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  atantayl2  24665