Theorem mdsymlem3 29264

Description: Lemma for mdsymi 29270. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	|- A e. CH
mdsymlem1.2	|- B e. CH
mdsymlem1.3	|- C = ( A vH p )

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	|- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, C   q, p, r, A   B, p, q, r

Allowed substitution hint:   C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 3835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) <-> r C_ ( B i^i C ) )
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( A vH p )
3	2	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ C <-> r C_ ( A vH p ) )
4	3	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( r C_ C -> r C_ ( A vH p ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ ( A vH p ) )
6	1, 5	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ ( A vH p ) )
7		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. CH
8	7	atcvat4i 29256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( A =/= 0H /\ r C_ ( A vH p ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
9	8	exp4b 632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> ( r C_ ( A vH p ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
10	9	com34 91	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. HAtoms -> ( p e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
11	10	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. HAtoms -> ( r C_ ( A vH p ) -> ( p e. HAtoms -> ( A =/= 0H -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) ) ) )
12	11	imp4b 613	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( A vH p ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
13	6, 12	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. HAtoms /\ r C_ ( B i^i C ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
14	13	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
15	14	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( p e. HAtoms /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
16	15	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
17	16	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) )
18	17	imp 445	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) )
19		nssne2 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q C_ A /\ -. r C_ A ) -> q =/= r )
20	19	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> q =/= r )
21		atnemeq0 29236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( q =/= r <-> ( q i^i r ) = 0H ) )
23	20, 22	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( q i^i r ) = 0H ) )
26		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. HAtoms -> p e. CH )
27		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. HAtoms -> q e. CH )
28		chjcom 28365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. CH /\ q e. CH ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
29	26, 27, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
30	29	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( p vH q ) = ( q vH p ) )
31	30	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) <-> r C_ ( q vH p ) ) )
32		atexch 29240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( q e. CH /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
33	27, 32	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( q e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ p e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
34	33	3com13 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
35	34	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( q vH p ) /\ ( q i^i r ) = 0H ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
36	35	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( q vH p ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
37	31, 36	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q i^i r ) = 0H -> p C_ ( q vH r ) ) )
39	25, 38	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( ( q C_ A /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
40	39	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ q e. HAtoms ) /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) )
41	40	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q e. HAtoms -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q C_ A -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
42	41	com24 95	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( q C_ A -> ( r C_ ( p vH q ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) ) )
43	42	impd 447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
44	43	com24 95	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) -> ( ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) ) ) )
45	44	imp4b 613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ r e. HAtoms ) /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
46	45	anasss 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> p C_ ( q vH r ) ) )
47		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> q C_ A ) )
49		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r C_ B /\ r C_ C ) -> r C_ B )
50	1, 49	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r C_ ( B i^i C ) -> r C_ B )
51	50	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) -> r C_ B )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> r C_ B )
53	48, 52	jctird 567	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
54	46, 53	jcad 555	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( ( q e. HAtoms /\ ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
55	54	expd 452	. . . . . . 7 |- ( ( p e. HAtoms /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
56	55	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
58	57	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( q e. HAtoms -> ( ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) ) )
59	58	reximdvai 3015	. . 3 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> ( E. q e. HAtoms ( q C_ A /\ r C_ ( p vH q ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) ) )
60	18, 59	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) /\ ( r e. HAtoms /\ ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) ) -> E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )
61		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
62		chjcl 28216	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CH /\ p e. CH ) -> ( A vH p ) e. CH )
63	7, 62	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( p e. CH -> ( A vH p ) e. CH )
64	2, 63	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( p e. CH -> C e. CH )
65		chincl 28358	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CH /\ C e. CH ) -> ( B i^i C ) e. CH )
66	61, 64, 65	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( p e. CH -> ( B i^i C ) e. CH )
67	26, 66	syl 17	. . . . 5 |- ( p e. HAtoms -> ( B i^i C ) e. CH )
68		chrelat2 29229	. . . . 5 |- ( ( ( B i^i C ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
69	67, 7, 68	sylancl 694	. . . 4 |- ( p e. HAtoms -> ( -. ( B i^i C ) C_ A <-> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) ) )
70	69	biimpa 501	. . 3 |- ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
71	70	ad2antrr 762	. 2 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms ( r C_ ( B i^i C ) /\ -. r C_ A ) )
72	60, 71	reximddv 3018	1 |- ( ( ( ( p e. HAtoms /\ -. ( B i^i C ) C_ A ) /\ p C_ ( A vH B ) ) /\ A =/= 0H ) -> E. r e. HAtoms E. q e. HAtoms ( p C_ ( q vH r ) /\ ( q C_ A /\ r C_ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   CHcch 27786   vH chj 27790   0Hc0h 27792  HAtomscat 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-chsup 28170  df-pjh 28254  df-cv 29138  df-at 29197

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  29265