Theorem carsgsigalem 30377

Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2	|- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
carsgsigalem	|- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )

Distinct variable groups:   e, M   e, O   ph, e, f, x, y   f, M, x, y   f, O, x, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, e, f)

Proof of Theorem carsgsigalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3756	. . . . 5 |- ( e u. e ) = e
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> e = f )
3	2	uneq2d 3767	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( e u. e ) = ( e u. f ) )
4	1, 3	syl5reqr 2671	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( e u. f ) = e )
5	4	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` ( e u. f ) ) = ( M ` e ) )
6		iccssxr 12256	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
7		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ph )
8		carsgval.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
10		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> e e. ~P O )
11	9, 10	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` e ) e. ( 0 [,] +oo ) )
12	6, 11	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` e ) e. RR* )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` e ) e. RR* )
14	2	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` e ) = ( M ` f ) )
15	14, 13	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` f ) e. RR* )
16		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> f e. ~P O )
17	9, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19		elxrge0 12281	. . . . . 6 |- ( ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( M ` f ) e. RR* /\ 0 <_ ( M ` f ) ) )
20	19	simprbi 480	. . . . 5 |- ( ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( M ` f ) )
21	18, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> 0 <_ ( M ` f ) )
22		xraddge02 29521	. . . . 5 |- ( ( ( M ` e ) e. RR* /\ ( M ` f ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( M ` f ) -> ( M ` e ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) ) )
23	22	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( M ` e ) e. RR* /\ ( M ` f ) e. RR* ) /\ 0 <_ ( M ` f ) ) -> ( M ` e ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )
24	13, 15, 21, 23	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` e ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )
25	5, 24	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e = f ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )
26		uniprg 4450	. . . . . . 7 |- ( ( e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> U. { e , f } = ( e u. f ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) = ( M ` ( e u. f ) ) )
28	27	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) = ( M ` ( e u. f ) ) )
29		prct 29492	. . . . . . 7 |- ( ( e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> { e , f } ~<_ om )
30	29	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> { e , f } ~<_ om )
31		prssi 4353	. . . . . . 7 |- ( ( e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> { e , f } C_ ~P O )
32	31	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> { e , f } C_ ~P O )
33		prex 4909	. . . . . . 7 |- { e , f } e. _V
34		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { e , f } -> ( x ~<_ om <-> { e , f } ~<_ om ) )
35		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { e , f } -> ( x C_ ~P O <-> { e , f } C_ ~P O ) )
36	34, 35	3anbi23d 1402	. . . . . . . . 9 |- ( x = { e , f } -> ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) <-> ( ph /\ { e , f } ~<_ om /\ { e , f } C_ ~P O ) ) )
37		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { e , f } -> U. x = U. { e , f } )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { e , f } -> ( M ` U. x ) = ( M ` U. { e , f } ) )
39		esumeq1 30096	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { e , f } -> Σ* y e. x ( M ` y ) = Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) )
40	38, 39	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( x = { e , f } -> ( ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) <-> ( M ` U. { e , f } ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) ) )
41	36, 40	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = { e , f } -> ( ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) ) <-> ( ( ph /\ { e , f } ~<_ om /\ { e , f } C_ ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) ) ) )
42		carsgsiga.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
43	41, 42	vtoclg 3266	. . . . . . 7 |- ( { e , f } e. _V -> ( ( ph /\ { e , f } ~<_ om /\ { e , f } C_ ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) ) )
44	33, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ { e , f } ~<_ om /\ { e , f } C_ ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) )
45	7, 30, 32, 44	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` U. { e , f } ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) )
46	28, 45	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) )
47	46	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) )
48		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ y = e ) -> y = e )
49	48	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ y = e ) -> ( M ` y ) = ( M ` e ) )
50	49	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) /\ y = e ) -> ( M ` y ) = ( M ` e ) )
51		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ y = f ) -> y = f )
52	51	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ y = f ) -> ( M ` y ) = ( M ` f ) )
53	52	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) /\ y = f ) -> ( M ` y ) = ( M ` f ) )
54	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> e e. ~P O )
55	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> f e. ~P O )
56	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> ( M ` e ) e. ( 0 [,] +oo ) )
57	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
58		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> e =/= f )
59	50, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 30128	. . 3 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> Σ* y e. { e , f } ( M ` y ) = ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )
60	47, 59	breqtrd 4679	. 2 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) /\ e =/= f ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )
61	25, 60	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( ph /\ e e. ~P O /\ f e. ~P O ) -> ( M ` ( e u. f ) ) <_ ( ( M ` e ) +e ( M ` f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  30378  carsgclctunlem3  30382