Theorem circum 31568

Description: The circumference of a circle of radius R, defined as the limit as n ~~> +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ( ( 2 x. pi ) x. R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
circum.1	|- A = ( ( 2 x. pi ) / n )
circum.2	|- P = ( n e. NN |-> ( ( 2 x. n ) x. ( R x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
circum.3	|- R e. RR

Assertion

Ref	Expression
circum	|- P ~~> ( ( 2 x. pi ) x. R )

Distinct variable group:   R, n

Allowed substitution hints:   A( n)   P( n)

Proof of Theorem circum

Dummy variables y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		pirp 24213	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR+
4		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
5		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( pi / n ) e. RR+ )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( pi / n ) e. RR+ )
7	6	rprene0d 11880	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( pi / n ) e. RR /\ ( pi / n ) =/= 0 ) )
8		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / n ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( pi / n ) e. RR /\ ( pi / n ) =/= 0 ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( pi / n ) e. ( RR \ { 0 } ) )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( pi / n ) e. ( RR \ { 0 } ) )
11		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) = ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) )
12		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( T. -> ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) = ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = ( pi / n ) -> ( sin ` y ) = ( sin ` ( pi / n ) ) )
14		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = ( pi / n ) -> y = ( pi / n ) )
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( y = ( pi / n ) -> ( ( sin ` y ) / y ) = ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) )
16	10, 11, 12, 15	fmptco 6396	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) = ( n e. NN |-> ( pi / n ) )
18	17, 9	fmpti 6383	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) : NN --> ( RR \ { 0 } )
19		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
20	19	recni 10052	. . . . . . 7 |- pi e. CC
21		divcnv 14585	. . . . . . 7 |- ( pi e. CC -> ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ~~> 0 )
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ~~> 0 )
23		sinccvg 31567	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) : NN --> ( RR \ { 0 } ) /\ ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ~~> 0 ) -> ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) ~~> 1 )
24	18, 22, 23	sylancr 695	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) ~~> 1 )
25	16, 24	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( T. -> ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ~~> 1 )
26		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
27	26, 19	remulcli 10054	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) e. RR
28		circum.3	. . . . . . 7 |- R e. RR
29	27, 28	remulcli 10054	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. pi ) x. R ) e. RR
30	29	recni 10052	. . . . 5 |- ( ( 2 x. pi ) x. R ) e. CC
31	30	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( ( 2 x. pi ) x. R ) e. CC )
32		circum.2	. . . . . 6 |- P = ( n e. NN |-> ( ( 2 x. n ) x. ( R x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
33		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
34	33	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 2 x. n ) x. ( R x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) ) e. _V
35	32, 34	eqeltri 2697	. . . . 5 |- P e. _V
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> P e. _V )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) = ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) )
38		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) -> y e. RR )
39	38	resincld 14873	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) -> ( sin ` y ) e. RR )
40		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) -> y =/= 0 )
41	39, 38, 40	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) -> ( ( sin ` y ) / y ) e. RR )
42	37, 41	fmpti 6383	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) : ( RR \ { 0 } ) --> RR
43		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) : ( RR \ { 0 } ) --> RR /\ ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) : NN --> ( RR \ { 0 } ) ) -> ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) : NN --> RR )
44	42, 18, 43	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) : NN --> RR
45	16	trud 1493	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) )
46	45	feq1i 6036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( RR \ { 0 } ) |-> ( ( sin ` y ) / y ) ) o. ( n e. NN |-> ( pi / n ) ) ) : NN --> RR <-> ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) : NN --> RR )
47	44, 46	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) : NN --> RR
48	47	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) e. RR )
49	48	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) e. CC )
51	26	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 2 e. CC )
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> pi e. CC )
54		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. CC )
56		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
58	52, 53, 55, 57	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. pi ) / k ) = ( 2 x. ( pi / k ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( pi / k ) ) / 2 ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. NN )
61		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi e. RR /\ k e. NN ) -> ( pi / k ) e. RR )
62	19, 60, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( pi / k ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( pi / k ) e. CC )
64		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> 2 =/= 0 )
66	63, 52, 65	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. ( pi / k ) ) / 2 ) = ( pi / k ) )
67	59, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) = ( pi / k ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) = ( sin ` ( pi / k ) ) )
69	62	resincld 14873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( sin ` ( pi / k ) ) e. RR )
70	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( sin ` ( pi / k ) ) e. CC )
71		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> k e. RR+ )
73		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( pi / k ) e. RR+ )
74	3, 72, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( pi / k ) e. RR+ )
75	74	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( pi / k ) =/= 0 )
76	70, 63, 75	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( pi / k ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) = ( sin ` ( pi / k ) ) )
77	68, 76	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) = ( ( pi / k ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) = ( R x. ( ( pi / k ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) ) )
79	28	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- R e. CC
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> R e. CC )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( pi / n ) = ( pi / k ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( sin ` ( pi / n ) ) = ( sin ` ( pi / k ) ) )
83	82, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) = ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) )
84		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) )
85		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) e. _V
86	83, 84, 85	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) = ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) = ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) )
88	87, 50	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) e. CC )
89	80, 63, 88	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( R x. ( pi / k ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) = ( R x. ( ( pi / k ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) ) )
90	78, 89	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) = ( ( R x. ( pi / k ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. k ) x. ( ( R x. ( pi / k ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) ) )
92		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
93	51, 55, 92	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
94		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CC /\ ( pi / k ) e. CC ) -> ( R x. ( pi / k ) ) e. CC )
95	79, 63, 94	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( R x. ( pi / k ) ) e. CC )
96	93, 95, 88	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( pi / k ) ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) = ( ( 2 x. k ) x. ( ( R x. ( pi / k ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) ) )
97	52, 55, 80, 63	mul4d 10248	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( pi / k ) ) ) = ( ( 2 x. R ) x. ( k x. ( pi / k ) ) ) )
98	53, 55, 57	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( k x. ( pi / k ) ) = pi )
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. R ) x. ( k x. ( pi / k ) ) ) = ( ( 2 x. R ) x. pi ) )
100	52, 80, 53	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. R ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) x. R ) )
101	99, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. R ) x. ( k x. ( pi / k ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. R ) )
102	97, 101	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( pi / k ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. R ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( pi / k ) ) ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) )
104	91, 96, 103	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) )
105		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
106		circum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( ( 2 x. pi ) / n )
107		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( 2 x. pi ) / n ) = ( ( 2 x. pi ) / k ) )
108	106, 107	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> A = ( ( 2 x. pi ) / k ) )
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A / 2 ) = ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( R x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) = ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) )
112	105, 111	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( 2 x. n ) x. ( R x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) )
113		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) e. _V
114	112, 32, 113	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( P ` k ) = ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) )
115	114	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) = ( ( 2 x. k ) x. ( R x. ( sin ` ( ( ( 2 x. pi ) / k ) / 2 ) ) ) ) )
116	87	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. ( ( sin ` ( pi / k ) ) / ( pi / k ) ) ) )
117	104, 115, 116	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) = ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. ( ( n e. NN |-> ( ( sin ` ( pi / n ) ) / ( pi / n ) ) ) ` k ) ) )
118	1, 2, 25, 31, 36, 50, 117	climmulc2 14367	. . 3 |- ( T. -> P ~~> ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. 1 ) )
119	118	trud 1493	. 2 |- P ~~> ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. 1 )
120	30	mulid1i 10042	. 2 |- ( ( ( 2 x. pi ) x. R ) x. 1 ) = ( ( 2 x. pi ) x. R )
121	119, 120	breqtri 4678	1 |- P ~~> ( ( 2 x. pi ) x. R )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   ~~> cli 14215   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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