Theorem rolle 23753

Description: Rolle's theorem. If F is a real continuous function on [ A , B ] which is differentiable on ( A , B ), and F ( A ) = F ( B ), then there is some x e. ( A , B ) such that ( RR _D F ) ` x = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rolle.a	|- ( ph -> A e. RR )
rolle.b	|- ( ph -> B e. RR )
rolle.lt	|- ( ph -> A < B )
rolle.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
rolle.d	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
rolle.e	|- ( ph -> ( F ` A ) = ( F ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
rolle	|- ( ph -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x   x, B   x, F

Proof of Theorem rolle

Dummy variables u t v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rolle.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2		rolle.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3		rolle.lt	. . . . 5 |- ( ph -> A < B )
4	1, 2, 3	ltled 10185	. . . 4 |- ( ph -> A <_ B )
5		rolle.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
6	1, 2, 4, 5	evthicc 23228	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ E. v e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) )
7		reeanv 3107	. . 3 |- ( E. u e. ( A [,] B ) E. v e. ( A [,] B ) ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( E. u e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ E. v e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) )
8	6, 7	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. u e. ( A [,] B ) E. v e. ( A [,] B ) ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) )
9		r19.26 3064	. . . 4 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) )
10	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> A e. RR )
11	2	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> B e. RR )
12	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> A < B )
13	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
14		rolle.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
16		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` u ) )
17	16	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( F ` y ) = ( F ` t ) )
19	18	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = t -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) <-> ( F ` t ) <_ ( F ` u ) ) )
20	19	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) <-> A. t e. ( A [,] B ) ( F ` t ) <_ ( F ` u ) )
21	17, 20	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> A. t e. ( A [,] B ) ( F ` t ) <_ ( F ` u ) )
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> A. t e. ( A [,] B ) ( F ` t ) <_ ( F ` u ) )
23		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> u e. ( A [,] B ) )
24		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> -. u e. { A , B } )
25	10, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24	rollelem 23752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. u e. { A , B } ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
26	25	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( -. u e. { A , B } -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
27	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> A e. RR )
28	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> B e. RR )
29	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> A < B )
30		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
32	31	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` u ) e. RR )
33	32	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( A [,] B ) ) -> -u ( F ` u ) e. RR )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) = ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) )
35	33, 34	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
36		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
37		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
38		cncfss 22702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
39	36, 37, 38	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A [,] B ) -cn-> CC )
40	39, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
41	34	negfcncf 22722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
43		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) <-> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) : ( A [,] B ) --> RR ) )
44	36, 42, 43	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) <-> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) : ( A [,] B ) --> RR ) )
45	35, 44	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
47	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR C_ CC )
48		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
49	1, 2, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
50		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
51	31, 36, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
52	51	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
53	52	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( A [,] B ) ) -> -u ( F ` u ) e. CC )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
56		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
57	1, 2, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
58	47, 49, 53, 55, 54, 57	dvmptntr 23734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) )
59		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
62	61	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( A (,) B ) -> u e. ( A [,] B ) )
63	62, 52	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
64		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` u ) e. _V )
65	31	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F = ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` u ) ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D F ) = ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` u ) ) ) )
67		dvf 23671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC
68	14	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
69	67, 68	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC )
70	69	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D F ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D F ) ` u ) ) )
71	47, 49, 52, 55, 54, 57	dvmptntr 23734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` u ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( A (,) B ) |-> ( F ` u ) ) ) )
72	66, 70, 71	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A (,) B ) |-> ( F ` u ) ) ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D F ) ` u ) ) )
73	60, 63, 64, 72	dvmptneg 23729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) )
74	58, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) )
75	74	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = dom ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) )
76		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. ( A (,) B ) -u ( ( RR _D F ) ` u ) e. _V -> dom ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) = ( A (,) B ) )
77		negex 10279	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u ( ( RR _D F ) ` u ) e. _V
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( A (,) B ) -> -u ( ( RR _D F ) ` u ) e. _V )
79	76, 78	mprg 2926	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) = ( A (,) B )
80	75, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = ( A (,) B ) )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> dom ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) = ( A (,) B ) )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> ( F ` v ) <_ ( F ` y ) )
83	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
84		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> v e. ( A [,] B ) )
85	83, 84	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` v ) e. RR )
86	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
87	86	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
88	85, 87	lenegd 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` v ) <_ ( F ` y ) <-> -u ( F ` y ) <_ -u ( F ` v ) ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
90	89	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = y -> -u ( F ` u ) = -u ( F ` y ) )
91		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( F ` y ) e. _V
92	90, 34, 91	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) = -u ( F ` y ) )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) = -u ( F ` y ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = v -> ( F ` u ) = ( F ` v ) )
95	94	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = v -> -u ( F ` u ) = -u ( F ` v ) )
96		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( F ` v ) e. _V
97	95, 34, 96	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( A [,] B ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) = -u ( F ` v ) )
98	84, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) = -u ( F ` v ) )
99	93, 98	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) <-> -u ( F ` y ) <_ -u ( F ` v ) ) )
100	88, 99	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` v ) <_ ( F ` y ) <-> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) ) )
101	82, 100	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) ) )
102	101	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) ) )
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) = ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` t ) )
105	104	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) <-> ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` t ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) ) )
106	105	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` y ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) <-> A. t e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` t ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) )
107	103, 106	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> A. t e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` t ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) )
108	107	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> A. t e. ( A [,] B ) ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` t ) <_ ( ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ` v ) )
109		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> v e. ( A [,] B ) )
110		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> -. v e. { A , B } )
111	27, 28, 29, 46, 81, 108, 109, 110	rollelem 23752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = 0 )
112	74	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = ( ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) ` x ) )
113		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = x -> ( ( RR _D F ) ` u ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
114	113	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = x -> -u ( ( RR _D F ) ` u ) = -u ( ( RR _D F ) ` x ) )
115		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) )
116		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( ( RR _D F ) ` x ) e. _V
117	114, 115, 116	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( u e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( RR _D F ) ` u ) ) ` x ) = -u ( ( RR _D F ) ` x ) )
118	112, 117	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = -u ( ( RR _D F ) ` x ) )
119	118	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = 0 <-> -u ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
120	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. dom ( RR _D F ) <-> x e. ( A (,) B ) ) )
121	120	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. dom ( RR _D F ) )
122	67	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom ( RR _D F ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
124	123	negeq0d 10384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 <-> -u ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
125	119, 124	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = 0 <-> ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
126	125	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = 0 <-> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
127	126	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> ( E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> -u ( F ` u ) ) ) ` x ) = 0 <-> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
128	111, 127	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) /\ -. v e. { A , B } ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
129	128	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( -. v e. { A , B } -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
130		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
131	130	elpr 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. { A , B } <-> ( u = A \/ u = B ) )
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> ( F ` u ) = ( F ` A ) )
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u = A -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) )
134		rolle.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` A ) = ( F ` B ) )
135	134	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` B ) = ( F ` A ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = B -> ( F ` u ) = ( F ` B ) )
137	136	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = B -> ( ( F ` u ) = ( F ` A ) <-> ( F ` B ) = ( F ` A ) ) )
138	135, 137	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u = B -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) )
139	133, 138	jaod 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( u = A \/ u = B ) -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) )
140	131, 139	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( u e. { A , B } -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) )
141		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( u e. { A , B } <-> v e. { A , B } ) )
142	94	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = v -> ( ( F ` u ) = ( F ` A ) <-> ( F ` v ) = ( F ` A ) ) )
143	141, 142	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> ( ( u e. { A , B } -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) <-> ( v e. { A , B } -> ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) )
144	143	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( u = v -> ( ( ph -> ( u e. { A , B } -> ( F ` u ) = ( F ` A ) ) ) <-> ( ph -> ( v e. { A , B } -> ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) ) )
145	144, 140	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { A , B } -> ( F ` v ) = ( F ` A ) ) )
146	140, 145	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( u e. { A , B } /\ v e. { A , B } ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) )
147	146	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( u e. { A , B } /\ v e. { A , B } ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) )
148	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR* )
149	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
150		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) )
151	148, 149, 4, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
152	31, 151	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` A ) e. RR )
154	87, 153	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` A ) /\ ( F ` A ) <_ ( F ` y ) ) ) )
155		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` u ) = ( F ` A ) -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) <-> ( F ` y ) <_ ( F ` A ) ) )
156		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` v ) = ( F ` A ) -> ( ( F ` v ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` A ) <_ ( F ` y ) ) )
157	155, 156	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) -> ( ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` A ) /\ ( F ` A ) <_ ( F ` y ) ) ) )
158	157	bibi2d 332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) -> ( ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) <-> ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` A ) /\ ( F ` A ) <_ ( F ` y ) ) ) ) )
159	154, 158	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) ) )
160	159	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) ) )
161	160	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) )
162	161	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( F ` A ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) )
163		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( A [,] B ) --> RR -> F Fn ( A [,] B ) )
164	31, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn ( A [,] B ) )
165		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` A ) e. RR -> ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) Fn ( A [,] B ) )
166	152, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) Fn ( A [,] B ) )
167		eqfnfv 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn ( A [,] B ) /\ ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) Fn ( A [,] B ) ) -> ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ` y ) ) )
168	164, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ` y ) ) )
169		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` A ) e. _V
170	169	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ` y ) = ( F ` A ) )
171	170	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F ` y ) = ( ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ` y ) <-> ( F ` y ) = ( F ` A ) ) )
172	171	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ` y ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( F ` A ) )
173	168, 172	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( F ` A ) ) )
174		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) = ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` A ) )
175	174	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) <-> F = ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` A ) ) )
176	175	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) -> F = ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` A ) ) )
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) -> ( RR _D F ) = ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` A ) ) ) )
178	152	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> ( F ` A ) e. CC )
180		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. RR ) -> 0 e. CC )
181	60, 178	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( F ` A ) ) ) = ( u e. RR |-> 0 ) )
182	60, 179, 180, 181, 49, 55, 54, 57	dvmptres2 23725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( RR _D ( u e. ( A [,] B ) |-> ( F ` A ) ) ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
183	177, 182	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ) -> ( RR _D F ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
184	183	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 ) ` x ) )
185		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = x -> 0 = 0 )
186		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 ) = ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 )
187		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
188	185, 186, 187	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( u e. ( A (,) B ) |-> 0 ) ` x ) = 0 )
189	184, 188	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ) /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
190	189	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ) -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
191		ioon0 12201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A (,) B ) =/= (/) <-> A < B ) )
192	148, 149, 191	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) =/= (/) <-> A < B ) )
193	3, 192	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A (,) B ) =/= (/) )
194		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A (,) B ) =/= (/) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
195	193, 194	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
196	190, 195	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
197	196	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F = ( ( A [,] B ) X. { ( F ` A ) } ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
198	173, 197	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( F ` A ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
199	198	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) = ( F ` A ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
200	162, 199	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
201	200	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( ( F ` u ) = ( F ` A ) /\ ( F ` v ) = ( F ` A ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
202	147, 201	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( u e. { A , B } /\ v e. { A , B } ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
203	26, 129, 202	ecased 985	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )
204	203	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
205	9, 204	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. ( A [,] B ) /\ v e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
206	205	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. u e. ( A [,] B ) E. v e. ( A [,] B ) ( A. y e. ( A [,] B ) ( F ` y ) <_ ( F ` u ) /\ A. y e. ( A [,] B ) ( F ` v ) <_ ( F ` y ) ) -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 ) )
207	8, 206	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  cmvth  23754  lhop1lem  23776