Theorem fourierdlem59 40382

Description: The derivative of H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem59.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem59.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem59.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem59.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem59.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem59.h	|- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem59	|- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem59.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem59.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
5		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
7	4, 6	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
8	2, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
9		fourierdlem59.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
11	8, 10	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
12		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
13	12	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = 0 -> 0 = s )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
15		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
16	14, 15	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
17	16	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
18		fourierdlem59.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
20	17, 19	pm2.65da 600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
21	20	neqned 2801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
22	11, 6, 21	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. RR )
23		fourierdlem59.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> H : ( A (,) B ) --> RR )
25		ioossre 12235	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ RR
26	25	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
27		dvfre 23714	. . . 4 |- ( ( H : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
28	24, 26, 27	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
29		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) e. _V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. _V )
31		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
32		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) )
33	30, 11, 6, 31, 32	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) )
34	33, 23	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D H ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) )
36		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
38	11	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
39		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) )
40	38, 39	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
41	6	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
42		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( s e. CC /\ s =/= 0 ) )
43	41, 21, 42	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s )
45	43, 44	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) : ( A (,) B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
46		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
47		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) )
48	30, 8, 10, 46, 47	offval2 6914	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) )
51	8	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
53	51, 52	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
54	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C )
56	54, 55	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57		fourierdlem59.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
58		fourierdlem59.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
60		fourierdlem59.fdv	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
61		cncff 22696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
63	1, 3, 57, 58, 59, 62	fourierdlem28 40352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
64		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC )
66		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ CC )
68	62, 67	fssd 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC )
69		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC C_ CC )
71		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
72	70, 60, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
73	68, 72	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) )
74		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ CC
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
76	3	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
77	3, 57	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
78	77	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
80	3, 58	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
81	80	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
83	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
84	83	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
85	58	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
87		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
88		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
89	84, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
90	83, 6, 4, 89	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
91	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
92		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
93	84, 86, 87, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
94	6, 91, 4, 93	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
95	79, 82, 7, 90, 94	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
96	65, 73, 75, 76, 95	fourierdlem23 40347	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
97	63, 96	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
98		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
100	99	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101	98, 100	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
103	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
104	37, 102, 103	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
105		0cnd 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
106	75, 105, 70	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
107	104, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
108	37, 53, 56, 97, 107	dvsubcncf 40139	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
109	50, 108	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
110	37, 102	dvmptidg 40131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
111		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
112	75, 111, 70	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
113	110, 112	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
114	37, 40, 45, 109, 113	dvdivcncf 40142	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
115	35, 114	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116		cncff 22696	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117		fdm 6051	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
118	115, 116, 117	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
119	118	feq2d 6031	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
120	28, 119	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR )
121		cncffvrn 22701	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
122	67, 115, 121	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123	120, 122	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  40395