Theorem dvconstbi 38533

Description: The derivative of a function on S is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional S analogue of dvconst 23680 and dveq0 23763. Corresponds to integration formula " S. 0 _d x = C " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvconstbi.y	|- ( ph -> Y : S --> CC )
dvconstbi.dy	|- ( ph -> dom ( S _D Y ) = S )

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	|- ( ph -> ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) <-> E. c e. CC Y = ( S X. { c } ) ) )

Distinct variable groups:   S, c   Y, c

Allowed substitution hint:   ph( c)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y : S --> CC )
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
3		elpri 4197	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S = RR \/ S = CC ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S = RR \/ S = CC ) )
5		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( S = RR -> ( 0 e. S <-> 0 e. RR ) )
7	5, 6	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( S = RR -> 0 e. S )
8		0cn 10032	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
9		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( S = CC -> ( 0 e. S <-> 0 e. CC ) )
10	8, 9	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( S = CC -> 0 e. S )
11	7, 10	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( S = RR \/ S = CC ) -> 0 e. S )
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. S )
13		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( Y : S --> CC /\ 0 e. S ) -> ( Y ` 0 ) e. CC )
14	1, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y ` 0 ) e. CC )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> ( Y ` 0 ) e. CC )
16		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( Y : S --> CC -> Y Fn S )
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y Fn S )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> Y Fn S )
19		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Y ` 0 ) e. _V
20		fnconstg 6093	. . . . . . 7 |- ( ( Y ` 0 ) e. _V -> ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) Fn S )
21	19, 20	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) Fn S )
22	19	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( y e. S -> ( ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) ` y ) = ( Y ` 0 ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) ` y ) = ( Y ` 0 ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
25	2, 24	sblpnf 38509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = S )
26	12, 25	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = S )
27	26	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( y e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) <-> y e. S ) )
28	27	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) )
29	12, 26	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) )
30	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> S e. { RR , CC } )
31		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S C_ S
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> S C_ S )
33	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> Y : S --> CC )
34	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> 0 e. S )
35		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- +oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> +oo e. RR* )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo )
38	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = S )
39		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom ( S _D Y ) = S )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> dom ( S _D Y ) = S )
41	38, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = dom ( S _D Y ) )
42		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) = dom ( S _D Y ) -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) C_ dom ( S _D Y ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) C_ dom ( S _D Y ) )
44	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> 0 e. RR )
45	26	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) <-> x e. S ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) -> x e. S )
47	46	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) -> x e. S )
48		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) -> ( ( S _D Y ) ` x ) = ( ( S X. { 0 } ) ` x ) )
49		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. _V
50	49	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. S -> ( ( S X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
51	48, 50	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( ( S _D Y ) ` x ) = 0 )
52	51, 8	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( ( S _D Y ) ` x ) e. CC )
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) e. RR )
54	51	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) = 0 )
55		eqle 10139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) = 0 ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) <_ 0 )
56	53, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) <_ 0 )
57	56	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) <_ 0 )
58	47, 57	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) <_ 0 )
59	58	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( S _D Y ) ` x ) ) <_ 0 )
60	30, 24, 32, 33, 34, 36, 37, 43, 44, 59	dvlip2 23758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ ( 0 e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) /\ y e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
61	29, 60	sylanr1 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ ( ph /\ y e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
62	61	3impdi 1381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. ( 0 ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
63	28, 62	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ ( ph /\ y e. S ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
64	63	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ ( ph /\ y e. S ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
65	64	3impdi 1381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) )
66		recnprss 23668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
67	2, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S C_ CC )
68	67	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( y e. S -> y e. CC ) )
69		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - y ) e. CC )
70	69	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( 0 - y ) ) e. RR )
71	8, 70	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. CC -> ( abs ` ( 0 - y ) ) e. RR )
72	68, 71	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( y e. S -> ( abs ` ( 0 - y ) ) e. RR ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( 0 - y ) ) e. RR )
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( 0 - y ) ) e. CC )
75	74	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) = 0 )
76	75	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( 0 x. ( abs ` ( 0 - y ) ) ) = 0 )
77	65, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ 0 )
78		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Y : S --> CC /\ y e. S ) -> ( Y ` y ) e. CC )
79	13, 78	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Y : S --> CC /\ ( 0 e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) )
80	1, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 0 e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) )
81	80	3impb 1260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ 0 e. S /\ y e. S ) -> ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) )
82	12, 81	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ph /\ y e. S ) -> ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) )
83	82	3anidm12 1383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) )
84		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) -> ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) e. CC )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) e. CC )
86	85	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) )
87	86	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) )
88	85	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) e. RR )
89		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) ) ) )
90	88, 5, 89	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) ) ) )
91	90	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) ) ) )
92	77, 87, 91	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 )
93	85	abs00ad 14030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 ) )
94	93	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 ) )
95	92, 94	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 )
96		subeq0 10307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ ( Y ` y ) e. CC ) -> ( ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 <-> ( Y ` 0 ) = ( Y ` y ) ) )
97	83, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 <-> ( Y ` 0 ) = ( Y ` y ) ) )
98	97	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( ( ( Y ` 0 ) - ( Y ` y ) ) = 0 <-> ( Y ` 0 ) = ( Y ` y ) ) )
99	95, 98	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) /\ y e. S ) -> ( Y ` 0 ) = ( Y ` y ) )
100	99	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ y e. S ) -> ( Y ` 0 ) = ( Y ` y ) )
101	23, 100	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) /\ y e. S ) -> ( Y ` y ) = ( ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) ` y ) )
102	18, 21, 101	eqfnfvd 6314	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> Y = ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) )
103		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Y ` 0 ) -> { x } = { ( Y ` 0 ) } )
104	103	xpeq2d 5139	. . . . . . 7 |- ( x = ( Y ` 0 ) -> ( S X. { x } ) = ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) )
105	104	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = ( Y ` 0 ) -> ( Y = ( S X. { x } ) <-> Y = ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) ) )
106	105	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( Y ` 0 ) e. CC /\ Y = ( S X. { ( Y ` 0 ) } ) ) -> E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) )
107	15, 102, 106	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) -> E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) )
108	107	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) -> E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) ) )
109		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( Y = ( S X. { x } ) -> ( S _D Y ) = ( S _D ( S X. { x } ) ) )
110	109	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC /\ Y = ( S X. { x } ) ) -> ( S _D Y ) = ( S _D ( S X. { x } ) ) )
111		dvsconst 38529	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ x e. CC ) -> ( S _D ( S X. { x } ) ) = ( S X. { 0 } ) )
112	2, 111	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( S _D ( S X. { x } ) ) = ( S X. { 0 } ) )
113	112	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC /\ Y = ( S X. { x } ) ) -> ( S _D ( S X. { x } ) ) = ( S X. { 0 } ) )
114	110, 113	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC /\ Y = ( S X. { x } ) ) -> ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) )
115	114	rexlimdv3a 3033	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) -> ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) ) )
116	108, 115	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) <-> E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) ) )
117		sneq 4187	. . . . 5 |- ( c = x -> { c } = { x } )
118	117	xpeq2d 5139	. . . 4 |- ( c = x -> ( S X. { c } ) = ( S X. { x } ) )
119	118	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( c = x -> ( Y = ( S X. { c } ) <-> Y = ( S X. { x } ) ) )
120	119	cbvrexv 3172	. 2 |- ( E. c e. CC Y = ( S X. { c } ) <-> E. x e. CC Y = ( S X. { x } ) )
121	116, 120	syl6bbr 278	1 |- ( ph -> ( ( S _D Y ) = ( S X. { 0 } ) <-> E. c e. CC Y = ( S X. { c } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   abscabs 13974   ballcbl 19733   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  expgrowth  38534