Theorem dvdivbd 40138

Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivbd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvdivbd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvdivbd.adv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
dvdivbd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvdivbd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvdivbd.u	|- ( ph -> U e. RR )
dvdivbd.r	|- ( ph -> R e. RR )
dvdivbd.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvdivbd.q	|- ( ph -> Q e. RR )
dvdivbd.cbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
dvdivbd.bbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
dvdivbd.dbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
dvdivbd.abd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
dvdivbd.bdv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
dvdivbd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
dvdivbd.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
dvdivbd.ele	|- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
dvdivbd.f	|- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdivbd	|- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Distinct variable groups:   E, b, x   F, b   Q, b, x   R, b, x   x, S   T, b, x   U, b, x   X, b, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( x, b)   B( x, b)   C( x, b)   D( x, b)   S( b)   F( x)

Proof of Theorem dvdivbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivbd.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
2		dvdivbd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
3	1, 2	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( U x. R ) e. RR )
4		dvdivbd.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		dvdivbd.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. RR )
6	4, 5	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( T x. Q ) e. RR )
7	3, 6	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
8		dvdivbd.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
9	8	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
10	9	resqcld 13035	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
11	8	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
12	8	rpgt0d 11875	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < E )
13	12	gt0ne0d 10592	. . . 4 |- ( ph -> E =/= 0 )
14		2z 11409	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
15	14	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
16	11, 13, 15	expne0d 13014	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) =/= 0 )
17	7, 10, 16	redivcld 10853	. 2 |- ( ph -> ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR )
18		dvdivbd.f	. . . . . . 7 |- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )
19		dvdivbd.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
20		dvdivbd.a	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
21		dvdivbd.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
22		dvdivbd.adv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
23		dvdivbd.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
25	24	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) = 0 )
26		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. RR )
27	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR )
28	23	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) e. RR )
29	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < E )
30		dvdivbd.ele	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
31	30	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E <_ ( abs ` B ) )
32	26, 27, 28, 29, 31	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < ( abs ` B ) )
33	32	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
35	34	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> -. ( abs ` B ) = 0 )
36	25, 35	pm2.65da 600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. B = 0 )
37	36	neqned 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B =/= 0 )
38		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
39	23, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
40		dvdivbd.d	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
41		dvdivbd.bdv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
42	19, 20, 21, 22, 39, 40, 41	dvmptdiv 23737	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
43	18, 42	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
44	21, 23	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( C x. B ) e. CC )
45	40, 20	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D x. A ) e. CC )
46	44, 45	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) e. CC )
47	23	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
48		sqne0 12930	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
49	23, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
50	37, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) =/= 0 )
51	46, 47, 50	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) e. CC )
52	43, 51	fvmpt2d 6293	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
54	46, 47, 50	absdivd 14194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) )
55	46	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) e. RR )
56	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
57	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR+ )
58	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. ZZ )
59	57, 58	rpexpcld 13032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
60	47	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) e. RR )
61	46	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) )
62	44	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR )
63	45	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) e. RR )
64	62, 63	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) e. RR )
65	44, 45	abs2dif2d 14197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) )
66	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U x. R ) e. RR )
67	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T x. Q ) e. RR )
68	21, 23	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) )
69	21	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) e. RR )
70	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U e. RR )
71	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> R e. RR )
72	21	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
73	23	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
74		dvdivbd.cbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
75		dvdivbd.bbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
76	69, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75	lemul12ad 10966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( U x. R ) )
77	68, 76	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) <_ ( U x. R ) )
78	40, 20	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) = ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) )
79	40	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) e. RR )
80	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> T e. RR )
81	20	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) e. RR )
82	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Q e. RR )
83	40	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` D ) )
84	20	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
85		dvdivbd.dbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
86		dvdivbd.abd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
87	79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86	lemul12ad 10966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) <_ ( T x. Q ) )
88	78, 87	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) <_ ( T x. Q ) )
89	62, 63, 66, 67, 77, 88	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
90	55, 64, 56, 65, 89	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
91		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
92	91	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. NN0 )
93	26, 27, 29	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ E )
94		leexp1a 12919	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E e. RR /\ ( abs ` B ) e. RR /\ 2 e. NN0 ) /\ ( 0 <_ E /\ E <_ ( abs ` B ) ) ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
95	27, 28, 92, 93, 31, 94	syl32anc 1334	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
96	23, 92	absexpd 14191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
97	95, 96	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( abs ` ( B ^ 2 ) ) )
98	55, 56, 59, 60, 61, 90, 97	lediv12ad 11931	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
99	54, 98	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
100	53, 99	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
101	100	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
102		breq2 4657	. . . 4 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
103	102	ralbidv 2986	. . 3 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
104	103	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
105	17, 101, 104	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  40391